Quá trình AR (1) với các lỗi đo không đồng nhất

1. Vấn đề

Tôi có một số phép đo của một biến $y_t$ , trong đó $t=1,2,..,n$ , mà tôi có một bản phân phối $f_{y_t}(y_t)$ thu được thông qua MCMC, mà vì đơn giản tôi sẽ giả là một gaussian của trung bình $\mu_t$ và phương sai $\sigma_t^2$ .

Tôi có một mô hình vật lý cho những quan sát đó, giả sử $g(t)$ , nhưng phần dư $r_t = \mu_t-g(t)$ dường như có mối tương quan; đặc biệt, tôi có lý do vật lý để nghĩ rằng quy trình $AR(1)$ sẽ đủ để tính đến mối tương quan và tôi dự định đạt được các hệ số phù hợp thông qua MCMC, do đó tôi cần khả năng này . Tôi nghĩ rằng giải pháp này khá đơn giản, nhưng tôi không chắc lắm (có vẻ như rất đơn giản, tôi nghĩ rằng tôi đang thiếu một cái gì đó).

2. Xuất phát khả năng

A-trung bình zero $AR(1)$ quá trình có thể được viết như sau:

$$X_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_t,\ \ \ (1)$$ , nơi tôi sẽ giả $\varepsilon_t\sim N(0,\sigma_w^2)$ . Các thông số được ước tính là, do đó, $\theta = \{\phi,\sigma_w^2\}$ (trong trường hợp của tôi, tôi cũng có thêm các thông số của mô hình $g(t)$, nhưng đó không phải là vấn đề). Những gì tôi quan sát, tuy nhiên, là biến $$R_t = X_t+\eta_t,\ \ \ (2)$$ nơi tôi đang giả định $\eta_t\sim N(0,\sigma_t^2)$ , và $\sigma_t^2$ được biết (các lỗi đo lường) . Bởi vì $X_t$ là một quá trình gaussian, $R_t$ cũng vậy. Trong đó, tôi biết rằng $$X_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]),$$ do đó, $$R_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2).$$ Thử thách tiếp theo là đạt được$R_t|R_{t-1}$ cho$t\neq 1$ . Để lấy được phân phối của biến ngẫu nhiên này, lưu ý rằng, sử dụng eq. $(2)$ Tôi có thể viết Sử dụng eq.(2 $$X_{t-1} = R_{t-1}-\eta_{t-1}.\ \ \ (3)$$ $(2)$ và sử dụng định nghĩa của eq. , tôi có thể viết, R t = X t + η t = ϕ X t - 1 + ε t + η t . Sử dụng phương trình ( 3 ) trong biểu thức cuối cùng này, sau đó, tôi có được, R $(1)$ $$R_{t} = X_t+\eta_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_{t}+\eta_t.$$ $(3)$ do đó, R t | R t - 1 = φ ( r t - 1 - η t - 1 ) + ε t + η t , và do đó, R t | R t - 1 ~ N $$R_{t} = \phi (R_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$$ $$R_t|R_{t-1} = \phi (r_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$$ Cuối cùng, tôi có thể viết các hàm likelihood như L ( θ ) = f R 1 ( R 1 = r 1 ) n Π t = 2 f R t | R t - 1 ( R t = r $$R_t|R_{t-1} \sim N(\phi r_{t-1},\sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}).$$ nơi f ( ⋅ ) là các bản phân phối của các biến mà tôi chỉ xác định, nghĩa là, xác định $$L(\theta) = f_{R_1}(R_1=r_1) \prod_{t=2}^{n} f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1}),$$ $f(\cdot)$$\sigma'^2 = \sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2,$ và xác địnhσ2(t)=σ 2 w +σ 2 t -φ2σ 2 t - 1 , fRt| Rt-1(Rt=rt|Rt-1=rt-1)= $$f_{R_1}(R_1=r_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma'^2}}\text{exp}\left(-\frac{r_1^2}{2\sigma'^2}\right),$$ $\sigma^2(t) = \sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}$ $$f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2(t)}}\text{exp}\left(-\frac{(r_t-\phi r_{t-1})^2}{2\sigma^2(t)}\right)$$

3. Câu hỏi

1. Đạo hàm của tôi có ổn không? Tôi không có bất kỳ tài nguyên nào để so sánh ngoài các mô phỏng (có vẻ đồng ý) và tôi không phải là một nhà thống kê!
2. $MA(1)$$ARMA(1,1)$$ARMA(p,q)$

1. $R_t$$R_{t-1}$$\phi r_{t-1}$$\phi \widehat{x}_{t-1}$$\widehat{x}_{t-1}$$X$$\widehat{x}_{t-1}$$r_{t-1}$$\sigma_w$$\phi$$X$$\sigma_{\eta}$$R$$X$

2. $\sigma_{\eta}$$Z=1$$d=c=0$$H_t = \sigma_{\eta,t}^2$$T=\phi$$R=1$$Q=\sigma^2_w$

Thành thật mà nói, bạn nên viết mã này trong BUGs hoặc STAN và không lo lắng về nó từ đó. Trừ khi đây là một câu hỏi lý thuyết.