Độ lệch di chuyển theo cấp số nhân / kurtosis

Có các công thức trực tuyến nổi tiếng để tính toán các đường trung bình di chuyển theo cấp số nhân và độ lệch chuẩn của một quá trình $(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$ . Đối với trung bình,

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

và cho phương sai

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

từ đó bạn có thể tính độ lệch chuẩn.

Có các công thức tương tự cho tính toán trực tuyến của các khoảnh khắc trung tâm thứ ba và thứ tư theo trọng số mũ không? Trực giác của tôi là họ nên có hình thức

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

và

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

từ đó bạn có thể tính toán độ lệch và kurtosis nhưng tôi không thể tìm thấy đơn giản, đóng- biểu thức biểu mẫu cho các hàm và . k n = M 4 , n / σ 4 n f $\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$

---

Chỉnh sửa: Một số thông tin thêm. Công thức cập nhật cho phương sai di chuyển là trường hợp đặc biệt của công thức cho hiệp phương sai di chuyển theo cấp số mũ, có thể được tính toán thông qua

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

trong đó và là phương tiện di chuyển theo cấp số nhân của và . Sự không đối xứng giữa và là ảo tưởng và biến mất khi bạn nhận thấy rằng .$\bar{x}_n$$\bar{y}_n$$x$$y$$x$$y$$y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$

Các công thức như thế này có thể được tính bằng cách viết thời điểm trung tâm dưới dạng kỳ vọng , trong đó các trọng số trong kỳ vọng được hiểu là theo cấp số nhân và sử dụng thực tế là với bất kỳ hàm chúng ta có$E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

Thật dễ dàng để rút ra các công thức cập nhật cho giá trị trung bình và phương sai bằng cách sử dụng mối quan hệ này, nhưng nó chứng tỏ là khó khăn hơn cho khoảnh khắc trung tâm thứ ba và thứ tư.

Các công thức rất đơn giản nhưng chúng không đơn giản như thân mật trong câu hỏi.

Hãy là EWMA trước và để cho , được coi là độc lập với . Theo định nghĩa , trung bình có trọng số mới là cho giá trị không đổi . Để thuận tiện cho công chứng, hãy đặt . Đặt là CDF của một biến ngẫu nhiên và biểu thị hàm tạo mô men của nó , do đó$Y$$X = x_n$$Y$$Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

Với Kendall và Stuart , hãy để biểu thị thời điểm không phải là trung tâm của thứ tự cho biến ngẫu nhiên ; nghĩa là, . Độ lệch và kurtosis có thể biểu thị theo thuật ngữ với ; ví dụ: độ lệch được xác định là trong đó$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

lần lượt là khoảnh khắc trung tâm thứ ba và thứ hai.

Theo kết quả tiểu học tiêu chuẩn,

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

Để có được những khoảnh khắc không phải là trung tâm mong muốn, hãy nhân chuỗi sau qua bậc bốn theo và đánh đồng kết quả theo kỳ hạn với các số hạng trong .$t$$\phi_Z(t)$

Tôi nghĩ rằng công thức cập nhật sau đây hoạt động đến giây thứ ba, mặc dù tôi rất vui khi có ai đó kiểm tra nó:

⋯ - μ n - $M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

Cập nhật công thức cho kurtosis vẫn mở ...