Khi nào thì hàm phân phối nhị thức ở trên / dưới hàm phân phối Poisson giới hạn của nó?

Hãy $B(n,p,r)$ biểu thị hàm phân bố nhị thức (DF) với các thông số $n \in \mathbb N$ và $p \in (0,1)$ đánh giá ở $r \in \{0,1,\ldots,n\}$ : và cho biểu thị Poisson DF với tham số đánh giá tại :

$$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$$ $F(\nu,r)$$a \in \mathbb R^+$$r \in \{0,1,2,\ldots\}$ $$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$$

Hãy xem xét và để được định nghĩa là , trong đó là hằng số của thứ tự . Vì , nên hàm hội tụ đến cho tất cả , như đã biết.n ⌈ a / p - d ⌉ d 1 n p → a B ( n , p , r ) F ( a , r ) $p \rightarrow 0$$n$$\lceil a/p-d \rceil$$d$$1$$np \rightarrow a$$B(n,p,r)$$F(a,r)$$r$

Với định nghĩa trên cho , tôi quan tâm đến việc xác định các giá trị của a mà \ started {phương trình} B (n, p, r)> F (a, r) ​​\ quad \ forall p \ in (0,1 ), \ end {phương trình} và tương tự những cái mà \ started {phương trình} B (n, p, r) <F (a, r) ​​\ quad \ forall p \ in (0,1). \ end {equation} Tôi đã có thể chứng minh rằng sự bất bình đẳng đầu tiên tổ chức cho một đủ nhỏ hơn r ; đặc biệt hơn, cho một thấp hơn so với một số ràng buộc g (r) , với g (r) <r . Tương tự, bất đẳng thức thứ hai giữ cho một đủ lớn hơn r , tức là cho mộta B ( n , p , r ) > F ( a , r $n$$a$B ( n , p , r ) < F ( a , r

$$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$$ a r a g ( r ) g ( r ) < r a r $$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$$ $a$$r$$a$$g(r)$$g(r)<r$$a$$r$$a$lớn hơn một giới hạn $h(r)$ , với $h(r)>r$ . (Các biểu thức của các giới hạn $g(r)$ và $h(r)$ không liên quan ở đây. Tôi sẽ cung cấp chi tiết cho bất cứ ai quan tâm.) Tuy nhiên, kết quả số gợi ý rằng những bất bình đẳng giữ cho vọt ít nghiêm ngặt, có nghĩa là, đối với $a$ gần gũi hơn với $r$ hơn tôi có thể chứng minh.

Vì vậy, tôi muốn biết liệu có một số định lý hoặc kết quả xác lập theo điều kiện nào mà bất đẳng thức giữ (đối với tất cả $p$ ); nghĩa là, khi nhị thức DF được đảm bảo ở trên / dưới giới hạn Poisson DF của nó. Nếu định lý đó không tồn tại, bất kỳ ý tưởng hoặc con trỏ nào đi đúng hướng sẽ được đánh giá cao.

Xin lưu ý rằng một câu hỏi tương tự, diễn đạt theo các hàm beta và gamma chưa hoàn chỉnh, đã được đăng trên math.stackexchange.com nhưng không có câu trả lời.

Liên quan đến các vấn đề sau:

• giá trị trung bình của một Binomial dist là$np$

• phương sai là$np(1-p)$

• giá trị trung bình của một Poisson dist là , mà chúng ta có thể tưởng tượng làn × $\lambda$$n\times p$

• phương sai của Poisson giống như giá trị trung bình

Bây giờ, nếu Poisson là giới hạn của Binomial với tham số và , sao cho tăng lên vô cùng và giảm về 0 trong khi sản phẩm của chúng không đổi, thì giả sử và không được hội tụ đến giới hạn tương ứng của chúng, biểu thức luôn lớn hơn , do đó phương sai của Binomial nhỏ hơn so với Poisson. Điều đó có nghĩa là Binomial ở dưới đuôi và ở nơi khác.p n p n p n p n p ( 1 - p $n$$p$$n$$p$$n$$p$$np$$np(1-p)$