Làm thế nào để beta trước ảnh hưởng đến hậu thế theo khả năng nhị thức

Tôi có hai câu hỏi,

Câu hỏi 1: Làm thế nào tôi có thể chỉ ra rằng phân phối sau là phân phối beta nếu khả năng là nhị thức và trước là beta

Câu hỏi 2: Sự lựa chọn các tham số trước ảnh hưởng đến hậu thế như thế nào? Không phải tất cả đều giống nhau sao?

Có thể trả lời những câu hỏi này trong R không?

— George Kramer
nguồn

Bạn có thể dễ dàng sử dụng Firstbayes để so sánh mà không phải viết mã như trong R. Nhận Firstbayes. Điều này có thể hữu ích vì việc cài đặt nó có thể khó khăn .. youtube.com/watch?v=BcdigiWY054

Để trả lời câu hỏi đầu tiên của bạn, chúng tôi chỉ cần sử dụng Định lý Bayes để cập nhật khả năng nhị thức của chúng tôi với phiên bản beta trước. Để hiểu rõ hơn về cách thực hiện việc này, trước tiên hãy quan sát kết quả sau trong đó chúng ta có thể sử dụng kết quả tỷ lệ phân phối beta là liên hợp trước cho khả năng nhị thức.

p (θ | x) = \frac{p (x | θ) p (θ)}{\int_{Θ} p (x | θ) p (θ) d θ} \propto p (x | θ) p (θ)

$p(\theta|\mathbf{x})=\frac{p(\mathbf{x}|\theta)p(\theta)}{\int_{\Theta}p(\mathbf{x}|\theta)p(\theta)d\theta}\propto p(\mathbf{x}|\theta)p(\theta)$

Bây giờ, hãy để và . Bây giờ chúng ta có thể sử dụng Định lý Bayes để tính toán hậu nghiệm như sau: $x_i\sim\text{Binomial}(N_i,\theta)$ $\theta\sim\text{Beta}(\alpha,\beta)$

\begin{aligned} p (θ | x) & \propto p (x | θ) p (θ) \\ \propto (\binom{N}{x_{i}}) θ^{s} (1 - θ)^{N - s} \frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)} θ^{α - 1} (1 - θ)^{β - 1} \\ \propto θ^{s} (1 - θ)^{N - s} θ^{α - 1} (1 - θ)^{β - 1} \\ \propto θ^{α + s - 1} (1 - θ)^{β + N - s - 1} \end{aligned}

$\begin{align} p(\theta|\mathbf{x})&\propto p(\mathbf{x}|\theta)p(\theta)\\ &\\ &\propto \binom{N}{x_i}\theta^{s}(1-\theta)^{N-s}\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}\\ &\\ &\propto \theta^{s}(1-\theta)^{N-s}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}\\ &\\ &\propto\theta^{\alpha+s-1}(1-\theta)^{\beta+N-s-1} \end{align}$ trong đó và

s = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

$s=\sum_{i=1}^nx_i$

N = \sum_{i = 1}^{n} N_{i}

$N=\sum_{i=1}^nN_i$

Bây giờ, chúng tôi nhận ra phía bên phải tỷ lệ của phương trình là hạt nhân của phân phối beta khác với các tham số được cập nhật và

α^{*} = α + \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

$\alpha^*=\alpha+\sum_{i=1}^nx_i$

β^{*} = β + \sum_{i = 1}^{n} N_{i} - \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

$\beta^*=\beta+\sum_{i=1}^nN_i-\sum_{i=1}^nx_i$

Bây giờ đối với phần thứ hai của vấn đề của bạn, hãy xem xét các biểu đồ sau của các phần sau được cung cấp các bản phân phối trước khác nhau.

BetaPriors

Cốt truyện trên có năm bản phân phối trước khác nhau:

\begin{aligned} Prior 1 & : θ \sim Beta (.5, .5) \\ Prior 1 & : θ \sim Beta (5, 1) \\ Prior 1 & : θ \sim Beta (1, 3) \\ Prior 1 & : θ \sim Beta (2, 2) \\ Prior 1 & : θ \sim Beta (2, 5) \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Prior }1&:\,\,\theta\sim\text{Beta}(.5,.5)\\ \text{Prior }1&:\,\,\theta\sim\text{Beta}(5,1)\\ \text{Prior }1&:\,\,\theta\sim\text{Beta}(1,3)\\ \text{Prior }1&:\,\,\theta\sim\text{Beta}(2,2)\\ \text{Prior }1&:\,\,\theta\sim\text{Beta}(2,5) \end{align*}$ nhập mô tả hình ảnh ở đây

Bây giờ mặc dù phân phối sau dường như không được thay đổi nhiều bởi sự lựa chọn trước trong tình huống này không phải lúc nào cũng như vậy. Ví dụ: chúng tôi đã lấy mẫu từ phân phối Binomial (trong mã) trong đó chúng tôi sẽ thấy rằng phân phối sau được thay đổi mạnh mẽ bởi sự lựa chọn phân phối trước. $N=2$

Đây là Rmã được sử dụng để tạo ra mọi thứ:

colors = c("red","blue","green","orange","purple")

n = 10
N = 10
theta = .2

x = rbinom(n,N,theta)
grid = seq(0,2,.01)


alpha = c(.5,5,1,2,2)
beta = c(.5,1,3,2,5)

plot(grid,grid,type="n",xlim=c(0,1),ylim=c(0,4),xlab="",ylab="Prior Density",
     main="Prior Distributions", las=1)
for(i in 1:length(alpha)){
    prior = dbeta(grid,alpha[i],beta[i])
    lines(grid,prior,col=colors[i],lwd=2)
}

legend("topleft", legend=c("Beta(0.5,0.5)", "Beta(5,1)", "Beta(1,3)", "Beta(2,2)", "Beta(2,5)"),
       lwd=rep(2,5), col=colors, bty="n", ncol=3)

for(i in 1:length(alpha)){
    dev.new()
    plot(grid,grid,,type="n",xlim=c(0,1),ylim=c(0,10),xlab="",ylab="Density",xaxs="i",yaxs="i",
    main="Prior and Posterior Distribution")

    alpha.star = alpha[i] + sum(x)
    beta.star = beta[i] + n*N - sum(x)
    prior = dbeta(grid,alpha[i],beta[i])
    post = dbeta(grid,alpha.star,beta.star)

    lines(grid,post,lwd=2)
    lines(grid,prior,col=colors[i],lwd=2)
    legend("topright",c("Prior","Posterior"),col=c(colors[i],"black"),lwd=2)

}

— COOLSerdash
nguồn

(+1) Câu trả lời tuyệt vời @ user25658.

— MYaseen208

Đây là câu trả lời tuyệt vời và sẽ ổn nếu nó cũng bao gồm biểu đồ khả năng (Dữ liệu).

— MYaseen208

@ user25658 Nếu hậu thế là bản phân phối beta, chúng ta không nên sử dụng rbetathay vì rbinomđể tạo x vì theta là bản phân phối beta?

— Kamaldeep Singh