Làm thế nào để hiểu công thức hệ số tương quan?

Bất cứ ai có thể giúp tôi hiểu công thức tương quan Pearson? mẫu $r$ = giá trị trung bình của các sản phẩm của các điểm chuẩn của các biến $X$ và $Y$ .

Tôi hiểu được lý do tại sao họ cần tiêu chuẩn hóa và , nhưng làm thế nào để hiểu các sản phẩm của cả hai điểm z? $X$$Y$

Công thức này còn được gọi là "hệ số tương quan thời điểm sản phẩm", nhưng lý do căn bản của hành động sản phẩm là gì? Tôi không chắc là tôi đã làm rõ câu hỏi của mình chưa, nhưng tôi chỉ muốn nhớ công thức bằng trực giác.

Trong các ý kiến, 15 cách để hiểu hệ số tương quan đã được đề xuất:

• "Mười ba cách để xem xét hệ số tương quan" (Rodgers & Nicewander 1988)
• Qua hiệp phương sai
• Qua vòng tròn

13 cách được thảo luận trong bài báo của Rodgers và Nicewander (Thống kê người Mỹ, tháng 2 năm 1988) là

1. Một chức năng của Điểm thô và Phương tiện,

   $$r =\frac{\sum\left(X_i - \bar{X}\right)\left(Y_i - \bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum\left(X_i-\bar{X}\right)^2\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}}.$$

2. Hiệp phương sai chuẩn hóa,

   $$r = s_{XY}/(s_Xs_Y)$$

   Trong đó là hiệp phương sai mẫu và s X và s Y là độ lệch chuẩn mẫu.$s_{XY}$$s_X$$s_Y$

3. Độ dốc chuẩn hóa của đường hồi quy,

   $$r = b_{Y\cdot X}\frac{s_X}{s_Y} = b_{X\cdot Y}\frac{s_Y}{s_X},$$

   trong đó và b X ⋅ Y là sườn của các đường hồi quy.$b_{Y\cdot X}$$b_{X \cdot Y}$

4. Ý nghĩa hình học của hai sườn hồi quy,

   $$r = \pm \sqrt{b_{Y\cdot X}b_{X\cdot Y}}.$$

5. Căn bậc hai của tỷ lệ hai phương sai (Tỷ lệ biến thiên được tính cho),

   $$r = \sqrt{\frac{\sum\left(Y_i - \hat{Y_i}\right)^2}{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}} = \sqrt{\frac{SS_{REG}}{SS_{TOT}}} = \frac{s_\hat{Y}}{s_Y}.$$

6. Sản phẩm chéo trung bình của các biến được tiêu chuẩn hóa,

   $$r = \sum z_X z_Y / N.$$

7. Một chức năng của góc giữa hai đường hồi quy chuẩn hóa. Hai đường hồi quy (của so với X và X so với Y ) đối xứng nhau về đường chéo. Hãy để góc giữa hai đường thẳng được β . Sau đó$Y$$X$$X$$Y$$\beta$

   $$r = \sec(\beta)\pm \tan(\beta).$$

8. Hàm của góc giữa hai vectơ biến,

   $$r = \cos(\alpha).$$

9. Một phương sai thay đổi tỷ lệ của sự khác biệt giữa các điểm chuẩn. Đặt là sự khác biệt giữa các biến X và Y được tiêu chuẩn hóa cho mỗi quan sát,$z_Y - z_X$$X$$Y$

   $$r = 1 - s^2_{(z_Y - z_X)} / 2 = s^2_{(z_Y+z_X)}/2 - 1.$$

10. Ước tính từ Quy tắc "Balloon",

    $$r \approx \sqrt{1 - (h/H)^2}$$

    Trong đó là phạm vi dọc của toàn bộ phân tán X - Y và h là phạm vi thông qua "tâm phân phối trên trục X " (nghĩa là thông qua điểm phương tiện).$H$$X-Y$$h$$X$

11. Liên quan đến các Ellipses của sự cô lập,

    $$r = \frac{D^2 - d^2}{D^2 + d^2}$$

    trong đó và d lần lượt là độ dài trục chính và phụ. r cũng bằng độ dốc của đường tiếp tuyến của một isocontour (theo tọa độ chuẩn) tại điểm đường viền đi qua trục dọc.$D$$d$$r$

12. Một chức năng của thống kê kiểm tra từ các thí nghiệm được thiết kế,

    $$r = \frac{t}{\sqrt{t^2 + n-2}}$$

    where $t$ is the test statistic in a two-independent sample $t$ test for a designed experiment with two treatment conditions (coded as $X=0, 1$) and $n$ is the combined total number of observations in the two treatment groups.

13. The Ratio of Two Means. Assume bivariate normality and standardize the variables. Select some arbitrarily large value $X_c$ of $X$. Then

    $$r = \frac{\mathbb{E}(Y\,|\,X\gt X_c)}{\mathbb{E}(X\,|\,X\gt X_c)}.$$

(Most of this is verbatim, with very slight changes in some of the notation.)

Some other methods (perhaps original to this site) are

• Via circles. $r$ is the slope of the regression line in standardized coordinates. This line can be characterized in various ways, including geometric ones, such as minimizing the total area of circles drawn between the line and the data points in a scatterplot.

• By coloring rectangles. Covariance can be assessed by coloring rectangles in a scatterplot (that is, by summing signed areas of rectangles). When the scatterplot is standardized, the net amount of color--the total signed error--is $r$.