Kiểm tra xem một mật độ là gia đình theo cấp số nhân

Cố gắng chứng minh rằng điều này không thuộc về gia đình theo cấp số nhân.

$f(y|a)=4\frac{(y+a)}{(1+4a)} ; 0 < y < 1 , a>0$

Đây là cách tiếp cận của tôi:

f (y | a) = 4 (y + a) e^{- l o g (1 + 4 a)}

$f(y|a) = 4(y+a)e^{-log(1+4a)}$

f (y | a) = (4 y) (1 + \frac{a}{y}) e^{- l o g (1 + 4 a)}

$f(y|a) = (4y)(1+\frac{a}{y})e^{-log(1+4a)}$

So sánh nó với dạng chuẩn, và chỉ là một hàm của , không thể được định nghĩa theo mình, vì trong $h(y) = 4y$ $g(a)$ $a$ $a$ $y$ không thể tách rời. Điều này có đủ để cho thấy rằng phân phối này không thuộc về gia đình hàm mũ. $1+\frac{a}{y}$

Vui lòng xem lại cách tiếp cận của tôi.

self-study pdf exponential-family

— người dùng 30438
nguồn

Bạn đã đặt ngón tay của bạn vào mấu chốt của vấn đề, và thực sự kết quả khá rõ ràng, nhưng logic có vẻ hơi sai. Phương pháp được mô tả dưới đây liên tục sử dụng logarit và phân biệt để làm cho vấn đề dần dần đơn giản hơn, cho đến khi nó trở nên hoàn toàn tầm thường.

Theo định nghĩa, là PDF cho một họ theo cấp số nhân khi logarit của nó có thể được viết dưới dạng tổng của một cái gì đó chỉ theo tham số ( ), một cái gì đó khác chỉ về dữ liệu ( ) và một cái gì đó khác là dữ liệu tích của hàm và hàm của . Điều này có nghĩa là bạn có thể tự do bỏ qua mọi yếu tố chỉ phụ thuộc rõ ràng vào tham số hoặc chỉ phụ thuộc vào dữ liệu. Trong trường hợp này, rõ ràng là $f$ $a$ $y$ $a$ $y$ chỉ phụ thuộc vào, vì vậy chúng tôi có thể bỏ qua nó. $\frac{4}{1+4a}$ $a$

Vấn đề là với . Chúng tôi cần phải chứng minh có thể không tồn tại "nice" chức năng và mà cộng với một số chức năng của mình cộng với một số chức năng khác của một mình. Phần "cộng" đó gây khó chịu, nhưng chúng ta có thể loại bỏ nó bằng cách phân biệt trước tiên đối với (đạo hàm của bất kỳ hàm nào của sẽ là 0) và sau đó đối với (đạo hàm của hàm $y+a$ $\eta$ $T$ $\log(y+a) = \eta(a) T(y)$ $a$ $y$ $a$ $y$ $y$ mình sẽ bằng không). Khi phủ định cả hai mặt (để làm cho mặt trái tích cực), điều này mang lại $a$

- \frac{\partial^{2}}{\partial a \partial y} \log (y + a) = \frac{1}{(a + y)^{2}} = - η^{'} (a) T^{'} (y) .

$-\frac{\partial^2}{\partial a\partial y}\log(y+a) = \frac{1}{(a+y)^2} = -\eta'(a)T'(y).$

Tôi muốn lấy logarit để đơn giản hóa phía bên tay phải (mà, bằng với bên tay trái, luôn luôn tích cực). Giả sử và là cả hai sẽ đảm bảo liên tục có một số khoảng thời gian giá trị cho và cho , trong đó một trong hai và hoặc khác và $\eta'$ $T'$ $a$ $y$ $-\eta'(a)\gt 0$ $T'(y)\gt 0$ $\eta'(a)\gt 0$ . Điều này có nghĩa là chúng ta thực sự có thể chia phần bên tay phải thành hai yếu tố tích cực, cho phép áp dụng logarit. Làm như vậy mang lại $-T'(y)\gt 0$

- 2 \log (a + y) = \log \frac{1}{(a + y)^{2}} = \log (- η^{'} (a) T^{'} (y)) = \log (- η^{'} (a)) + \log (T^{'} (y))

$-2\log(a+y) = \log\frac{1}{(a+y)^2} = \log\left(-\eta'(a)T'(y)\right) = \log(-\eta'(a)) + \log(T'(y))$

$a$ $y$

\frac{2}{(a + y)^{2}} = 0,

$\frac{2}{(a+y)^2} = 0,$

một điều không thể

$\eta$ $T$

— whuber
nguồn

Ký hiệu của tôi là Wikipedia, cũng liệt kê một bộ quy tắc để xác định các gia đình theo cấp số nhân. . Các phương pháp minh họa ở đây có thể được sử dụng để biện minh cho các quy tắc đó.

— whuber

Phân tích đẹp; việc sử dụng các đạo hàm riêng thứ hai hỗn hợp có phần gợi nhớ các tiêu chí để kiểm tra xem các hàm có "có thể định nghĩa được" hay không, ít nhất là các dạng cụ thể (cũng bao gồm một phân tách tương tự).

— Glen_b -Reinstate Monica

Cảm ơn @Glen_b. Nó cũng nhiều hơn gợi nhớ đến việc phân tích các tương tác trong các bảng hai chiều. Đó là phiên bản khác biệt hữu hạn. ;-)

— whuber

Đúng; đó cũng là một kết nối mà tôi đã khai thác khi chơi với các chữ tượng hình.

— Glen_b -Reinstate Monica

@whuber Cảm ơn lời giải thích của bạn. Nhưng tôi đang tìm kiếm thời gian khó khăn để hiểu tại sao chúng ta lấy dẫn xuất một phần và đăng nhập lại. Có khả năng điều này được giải quyết bằng cách xác định hàm chỉ thị cho y luôn phụ thuộc vào a.

— 30438

$fh(x)e^{ηT(x)-A(η)}$

$g(x,η)=ηT(x)-A(η)$ $x_1,x_2,x_3,x_4$ $\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$ $\frac{(T(x1)-T(x2))}{(T(x3) - T(x4))}$

$f(y;a)= 4\frac{y+a}{(4a+1)}$ $4 e^( ln(y+a)-ln(4a+1) )$ $g(x,η)=ln(y+a)-ln(4a+1)$

$\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$ $\frac{(ln(y1+a)-ln(y2+a))}{(ln(y3+a)-ln(y4+a))}$ $f(y;a)$

— Mriganka Aulia
nguồn

f

$f$