Ước tính độ dốc của phần thẳng của đường cong sigmoid

Tôi đã được giao nhiệm vụ này và đã bị bối rối. Một đồng nghiệp yêu cầu tôi ước tính và x l o w e r của biểu đồ sau:$x_{upper}$$x_{lower}$

Đường cong thực sự là một phân phối tích lũy và x là một số phép đo. Anh ta quan tâm để biết các giá trị tương ứng trên x là gì khi hàm tích lũy bắt đầu trở nên thẳng và lệch khỏi thẳng.

Tôi hiểu rằng chúng ta có thể sử dụng sự khác biệt để tìm độ dốc tại một điểm, nhưng tôi không chắc chắn làm thế nào để xác định khi nào chúng ta có thể gọi đường thẳng. Bất kỳ quan điểm nào đối với một số phương pháp / tài liệu đã có sẵn sẽ được đánh giá rất cao.

Tôi cũng biết R nếu bạn tình cờ biết bất kỳ gói hoặc ví dụ liên quan nào về loại điều tra này.

Cảm ơn rất nhiều.

CẬP NHẬT

Nhờ Flounderer tôi đã có thể mở rộng công việc hơn nữa, thiết lập một khung và sửa các thông số ở đây và đó. Đối với mục đích học tập ở đây là mã hiện tại của tôi và một đầu ra đồ họa.

library(ESPRESSO)

x <- skew.rnorm(800, 150, 5, 3)
x <- sort(x)
meanX <- mean(x)
sdX <- sd(x)
stdX <- (x-meanX)/sdX
y <- pnorm(stdX)

par(mfrow=c(2,2), mai=c(1,1,0.3,0.3))
hist(x, col="#03718750", border="white", main="")

nq <- diff(y)/diff(x)
plot.ts(nq, col="#6dc03480")

log.nq <- log(nq)
low <- lowess(log.nq)
cutoff <- .7
q <- quantile(low$y, cutoff)
plot.ts(log.nq, col="#6dc03480")
abline(h=q, col="#348d9e")

x.lower <- x[min(which(low$y > q))]
x.upper <- x[max(which(low$y > q))]
plot(x,y,pch=16,col="#03718750", axes=F)
axis(side=1)
axis(side=2)
abline(v=c(x.lower, x.upper),col="red")
text(x.lower, 1.0, round(x.lower,0))
text(x.upper, 1.0, round(x.upper,0))

Đây là một ý tưởng nhanh chóng và bẩn thỉu dựa trên đề xuất của @ alex.

#simulated data
set.seed(100)
x <- sort(exp(rnorm(1000, sd=0.6)))
y <- ecdf(x)(x)

Nó trông hơi giống dữ liệu của bạn. Ý tưởng bây giờ là nhìn vào đạo hàm và thử xem nó lớn nhất ở đâu. Đây phải là một phần của đường cong của bạn, nơi nó thẳng nhất, vì nó là hình chữ S.

NQ <- diff(y)/diff(x)
plot.ts(NQ)

$x$

log.NQ <- log(NQ)
low <- lowess(log.NQ)
cutoff <- 0.75
q <- quantile(low$y, cutoff)
plot.ts(log.NQ)
abline(h=q)

$x$

x.lower <- x[min(which(low$y > q))]
x.upper <- x[max(which(low$y > q))]
plot(x,y)
abline(v=c(x.lower, x.upper))

cutoff$y$