Ký hiệu đăng ký trong kỳ vọng

Ý nghĩa chính xác của ký hiệu chỉ số trong các kỳ vọng có điều kiện trong khuôn khổ của lý thuyết đo lường là gì? Các mục con này không xuất hiện trong định nghĩa về kỳ vọng có điều kiện, nhưng chúng ta có thể thấy ví dụ trong trang này của wikipedia . (Lưu ý rằng không phải lúc nào cũng như vậy, cùng một trang vài tháng trước). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

Ví dụ về ý nghĩa của với và gì? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— Emile
nguồn

Chắc chắn ai đó sẽ đồng ý với các định nghĩa chính thức, một cách không chính thức, tất cả các kỳ vọng là kỳ vọng đối với việc phân phối (/ kỳ vọng liên quan đến) một số biến ngẫu nhiên (có thể là đa biến), cho dù nó đã được chỉ định rõ ràng hay ngụ ý trái. Trong nhiều trường hợp, rõ ràng (

ngụ ý

chứ không phải

). Những lần khác, cần phải phân biệt; xem xét định luật tổng phương sai ví dụ:

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@Glen_b Có thực sự cần thiết phải xác định trong luật phương sai tổng không? Như

, đối với một số

, không rõ ràng rằng

là hơn

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Thomas Ahle

@ThomasAhle Bạn hoàn toàn đúng - "cần thiết" là một từ quá mạnh cho ví dụ đó. Mặc dù nói một cách nghiêm túc thì rõ ràng, nó thường là một điểm gây nhầm lẫn cho những người đọc không có hứng thú làm việc với nó, vì vậy, thông thường, thay vì cần thiết, phải rõ ràng về nó. Có một số biểu hiện liên quan đến những kỳ vọng mà bạn không thể chắc chắn mà không chỉ định, nhưng đó không thực sự là một trong số chúng

— Glen_b

$E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

$E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Khi có một mục con ... trong một số trường hợp, nó sẽ cho chúng ta biết biến nào chúng ta nên điều kiện . Vì thế

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... Nhưng trong các trường hợp khác, nó cho chúng ta biết mật độ nào sẽ được sử dụng để "lấy trung bình"

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Khá khó hiểu tôi sẽ nói, nhưng ai nói rằng ký hiệu khoa học hoàn toàn không có sự mơ hồ hoặc sử dụng nhiều lần? Bạn nên xem cách mỗi tác giả định nghĩa việc sử dụng các ký hiệu đó.

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Tôi có hai câu hỏi. 1) Không chắc chắn nếu tôi hiểu đúng về điều này, tôi có thể diễn giải kỳ vọng là một trong hai phương trình đầu tiên không, nếu X hoặc Y đã được sửa? 2) Bạn có thể đưa ra một ví dụ cho EQ 4 và EQ 5 không? Tôi có một thời gian khó khăn để giải thích chúng và tôi nghĩ rằng các ví dụ cụ thể sẽ giúp. Cảm ơn!

— mèo trần

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

@ceiling cat Trong cả hai trường hợp trong hai nhận xét trước đây của tôi, "cơ chế" của các phép tính toán học sẽ giống nhau. Các kết quả cuối cùng mặc dù có cách hiểu khác nhau.

— Alecos Papadopoulos

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos