Ước tính mật độ hạt nhân của mình là một tổ hợp của cái gì?

Tôi đang cố gắng để hiểu rõ hơn về ước tính mật độ hạt nhân.

Sử dụng định nghĩa từ Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_d mật_estimation # DefDef

$\hat{f_h}(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) \quad = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big)$

Giả sử là hàm hình chữ nhật cho nếu nằm trong khoảng đến và và (kích thước cửa sổ) là 1.1 x - 0,5 0,5 0 $K()$$1$$x$$-0.5$$0.5$$0$$h$

Tôi hiểu rằng mật độ là một tổ hợp của hai hàm, nhưng tôi không chắc tôi biết cách xác định hai hàm này. Một trong số chúng (có lẽ) là một hàm của dữ liệu, với mỗi điểm trong R, cho chúng ta biết có bao nhiêu điểm dữ liệu chúng ta có ở vị trí đó (chủ yếu là ). Và chức năng khác có lẽ nên là một số sửa đổi của chức năng kernel, kết hợp với kích thước cửa sổ. Nhưng tôi không chắc làm thế nào để xác định nó.$0$

Bất kỳ đề xuất?

Bellow là một mã R ví dụ (tôi nghi ngờ) sao chép các cài đặt mà tôi đã xác định ở trên (với hỗn hợp hai Gaussian và ), trên đó tôi hy vọng sẽ thấy một "bằng chứng" rằng các hàm sẽ bị phá hủy là như chúng ta nghi ngờ .$n=100$

# example code:
set.seed(2346639)
x <- c(rnorm(50), rnorm(50,2))
plot(density(x, kernel='rectangular', width=1, n = 10**4))
rug(x)

Tương ứng với bất kỳ loạt số liệu $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ là "hàm mật độ thực nghiệm" của nó

$$f_X(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-x_i).$$

Ở đây, là một "hàm tổng quát." Mặc dù tên đó, nó hoàn toàn không phải là một hàm: đó là một đối tượng toán học mới chỉ có thể được sử dụng trong các tích phân. Thuộc tính xác định của nó là cho bất kỳ chức năng hỗ trợ nhỏ gọn nào liên tục trong vùng lân cận ,$\delta$$g$$0$

$$\int_{\mathbb{R}}\delta(x) g(x) dx = g(0).$$

(Tên của bao gồm "nguyên tử" hoặc "điểm" và " Hàm delta Dirac ." Trong phép tính sau, khái niệm này được mở rộng để bao gồm các hàm chỉ liên tục từ một phía.)$\delta$$g$

Chứng minh đặc tính này của là quan sát rằng$f_X$

$$\eqalign{ \int_{-\infty}^{x} f_X(y) dy &= \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{x} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{R}} I(y\le x) \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} I(x_i \le x) \\ &= F_X(x) }$$

trong đó là CDF theo kinh nghiệm thông thường và là hàm đặc trưng thông thường (bằng trong đó đối số của nó là đúng và khác). (Tôi bỏ qua một đối số giới hạn cơ bản cần thiết để chuyển từ các hàm hỗ trợ nhỏ gọn sang các hàm được xác định qua ; vì chỉ cần xác định các giá trị trong phạm vi , nhỏ gọn, điều này không có vấn đề gì.)$F_X$$I$$1$$0$$\mathbb{R}$$I$$X$

Định nghĩa của với bất kỳ hàm nào khác được đưa ra, theo định nghĩa, như$f_X(x)$$k$

$$\eqalign{ (f_X * k)(x) &= \int_{\mathbb{R}} f_X(x - y) k(y) dy \\ &=\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\int_{\mathbb{R}} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} k(x_i-x). }$$

Để (giống với cho các hạt đối xứng - và hầu hết các hạt nhân đều đối xứng) chúng ta thu được kết quả được yêu cầu: công thức Wikipedia là một tích chập.$k(x) = K_h(-x)$$K_h(x)$