Có tương quan giả định văn phòng phẩm của dữ liệu?

Phân tích liên thị trường là một phương pháp mô hình hóa hành vi thị trường bằng cách tìm kiếm mối quan hệ giữa các thị trường khác nhau. Thông thường, một mối tương quan được tính toán giữa hai thị trường, ví dụ như kho bạc S & P 500 và 30 năm của Hoa Kỳ. Những tính toán này thường xuyên hơn không dựa trên dữ liệu giá, điều hiển nhiên với mọi người là nó không phù hợp với định nghĩa của chuỗi thời gian đứng yên.

Các giải pháp khả thi sang một bên (sử dụng lợi nhuận thay thế), là sự tính toán tương quan có dữ liệu không cố định ngay cả một phép tính thống kê hợp lệ?

Bạn có nói rằng một tính toán tương quan như vậy là hơi không đáng tin cậy, hoặc chỉ vô nghĩa?

Các mối tương quan đo lường mối quan hệ tuyến tính. Trong mối quan hệ bối cảnh không chính thức có nghĩa là một cái gì đó ổn định. Khi chúng ta tính toán tương quan mẫu cho các biến dừng và tăng số lượng điểm dữ liệu có sẵn, mối tương quan mẫu này có xu hướng tương quan thực sự.

Có thể chỉ ra rằng đối với giá cả, thường là các bước ngẫu nhiên, mối tương quan mẫu có xu hướng biến ngẫu nhiên. Điều này có nghĩa là cho dù chúng tôi có bao nhiêu dữ liệu, kết quả sẽ luôn khác nhau.

Lưu ý tôi đã cố gắng thể hiện trực giác toán học mà không có toán học. Từ quan điểm toán học, lời giải thích rất rõ ràng: Các khoảnh khắc mẫu của các quá trình đứng yên hội tụ xác suất đến các hằng số. Các khoảnh khắc mẫu của các bước đi ngẫu nhiên hội tụ thành các tích phân của chuyển động nâu là các biến ngẫu nhiên. Vì mối quan hệ thường được biểu thị dưới dạng số và không phải là biến ngẫu nhiên, lý do không tính toán tương quan cho các biến không cố định trở nên rõ ràng.

Cập nhật Vì chúng tôi quan tâm đến mối tương quan giữa hai biến trước tiên, chúng xuất phát từ quá trình dừng . Stationarity ngụ ý rằng và không phụ thuộc vào . Vì vậy, mối tương quanE Z t c o v ( Z t , Z t - h ) $Z_t=(X_t,Y_t)$$EZ_t$$cov(Z_t,Z_{t-h})$$t$

$$corr(X_t,Y_t)=\frac{cov(X_t,Y_t)}{\sqrt{DX_tDY_t}}$$

cũng không phụ thuộc vào , vì tất cả các đại lượng trong công thức đến từ ma trận , không phụ thuộc vào t . Vì vậy, việc tính toán tương quan mẫuc o v ( Z t$t$$cov(Z_t)$$t$

có ý nghĩa, vì chúng ta có thể có hy vọng hợp lý rằng tương quan mẫu sẽ ước tínhρ=corr(Xt,Yt). Nó chỉ ra rằng niềm hy vọng này không phải là không có cơ sở, vì đối với các quá trình văn phòng phẩm đáp ứng các điều kiện nhất định chúng tôi có màρ

$$\hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T(X_t-\bar{X})(Y_t-\bar{Y})}{\sqrt{\frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^T(X_t-\bar{X})^2\sum_{t=1}^T(Y_t-\bar{Y})^2}}$$ $\rho=corr(X_t,Y_t)$ , nhưtrong xác suất. Hơn nữa,trong phân phối, vì vậy chúng tôi có thể kiểm tra các giả thuyết về.$\hat{\rho}\to\rho$$T\to\infty$$\sqrt{T}(\hat{\rho}-\rho)\to N(0,\sigma_{\rho}^2)$$\rho$

Bây giờ giả sử rằng không đứng yên. Sau đó, sửa có thể phụ thuộc vào . Vì vậy, khi chúng tôi quan sát một mẫu có kích thước chúng tôi cần ước tính tương quan khác nhau . Điều này tất nhiên là không khả thi, vì vậy trong trường hợp tốt nhất, chúng tôi chỉ có thể ước tính một số chức năng của như giá trị trung bình hoặc phương sai. Nhưng kết quả có thể không có giải thích hợp lý. c o r r ( X t , Y t ) t T T ρ t ρ $Z_t$$corr(X_t,Y_t)$$t$$T$$T$$\rho_t$$\rho_t$

Bây giờ chúng ta hãy xem xét những gì xảy ra với sự tương quan của bước đi ngẫu nhiên không cố định được nghiên cứu nhiều nhất. Chúng tôi gọi tiến trình là bước đi ngẫu nhiên nếu , trong đó là một quá trình đứng yên. Để đơn giản, giả sử rằng . Sau đóZ t = ∑ t s = 1 ( U t , V t ) C t = ( U t , V t ) E C t = $Z_t=(X_t,Y_t)$$Z_t=\sum_{s=1}^t(U_t,V_t)$$C_t=(U_t,V_t)$$EC_t=0$

$$\begin{align} corr(X_tY_t)=\frac{EX_tY_t}{\sqrt{DX_tDY_t}}=\frac{E\sum_{s=1}^tU_t\sum_{s=1}^tV_t}{\sqrt{D\sum_{s=1}^tU_tD\sum_{s=1}^tV_t}} \end{align}$$

Để đơn giản hóa vấn đề hơn nữa, giả sử rằng là một tiếng ồn trắng. Điều này có nghĩa là tất cả các tương quan bằng 0 cho . Lưu ý rằng điều này không hạn chế sửa về không.E ( C t C t + h ) h > 0 c o r r ( U t , V t$C_t=(U_t,V_t)$$E(C_tC_{t+h})$$h>0$$corr(U_t,V_t)$

Khi đó

$$\begin{align} corr(X_t,Y_t)=\frac{tEU_tV_t}{\sqrt{t^2DU_tDV_t}}=corr(U_0,V_0). \end{align}$$

Cho đến nay rất tốt, mặc dù quá trình này không ổn định, nhưng mối tương quan có ý nghĩa, mặc dù chúng tôi đã phải đưa ra các giả định hạn chế tương tự.

Bây giờ để xem điều gì xảy ra với tương quan mẫu, chúng ta sẽ cần sử dụng thực tế sau đây về các bước ngẫu nhiên, được gọi là định lý giới hạn trung tâm chức năng:

trong phân phối, nơis∈[0,1]vàlàchuyển động Brownianbivariate(quá trình Wiener hai chiều). Để thuận tiện giới thiệu định nghĩa.

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{T}}Z_{[Ts]}=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{[Ts]}C_t\to (cov(C_0))^{-1/2}W_s, \end{align}$$ $s\in[0,1]$M s = ( M 1 s , M 2 s ) = ( c o v ( C 0 ) ) - 1 / 2 W $W_s=(W_{1s},W_{2s})$$M_s=(M_{1s},M_{2s})=(cov(C_0))^{-1/2}W_s$

Một lần nữa để đơn giản, chúng ta hãy định nghĩa tương quan mẫu là

$$\begin{align} \hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_{t}Y_t}{\sqrt{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t^2\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TY_t^2}} \end{align}$$

Hãy để chúng tôi bắt đầu với phương sai. Chúng ta có

$$\begin{align} E\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t^2=\frac{1}{T}E\sum_{t=1}^T\left(\sum_{s=1}^tU_t\right)^2=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^Tt\sigma_U^2=\sigma_U\frac{T+1}{2}. \end{align}$$

Điều này đi đến vô cùng khi tăng, vì vậy chúng tôi gặp vấn đề đầu tiên, phương sai mẫu không hội tụ. Mặt khác, định lý ánh xạ liên tục kết hợp với định lý giới hạn trung tâm chức năng cho chúng ta$T$

T→

$$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TX_t^2=\sum_{t=1}^T\frac{1}{T}\left(\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{s=1}^tU_t\right)^2\to \int_0^1M_{1s}^2ds \end{align}$$ trong đó hội tụ được hội tụ trong phân phối, như .$T\to \infty$

Tương tự như vậy, chúng tôi nhận được

$$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TY_t^2\to \int_0^1M_{2s}^2ds \end{align}$$ và $$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TX_tY_t\to \int_0^1M_{1s}M_{2s}ds \end{align}$$

Vì vậy, cuối cùng cho tương quan mẫu của bước đi ngẫu nhiên của chúng tôi, chúng tôi nhận được

T→

$$\begin{align} \hat{\rho}\to \frac{\int_0^1M_{1s}M_{2s}ds}{\sqrt{\int_0^1M_{1s}^2ds\int_0^1M_{2s}^2ds}} \end{align}$$ trong phân phối dưới dạng . $T\to \infty$

Vì vậy, mặc dù mối tương quan được xác định rõ, tương quan mẫu không hội tụ về phía nó, như trong trường hợp quá trình đứng yên. Thay vào đó, nó hội tụ đến một biến ngẫu nhiên nhất định.

... Là sự tính toán tương quan mà dữ liệu của nó không cố định ngay cả một phép tính thống kê hợp lệ?

Đặt là một bước đi ngẫu nhiên rời rạc. Chọn một số dương . Xác định các quá trình và theo , nếu , và nếu không ; và . Nói cách khác, bắt đầu giống hệt nhưng mỗi lầnh P V P ( 0 ) = 1 P ( t + 1 ) = - P ( t ) V ( t ) > h P ( t + 1 ) = P ( t ) V ( t ) = P ( t ) W ( t ) V W $W$$h$$P$$V$$P(0) = 1$$P(t+1) = -P(t)$$V(t) > h$$P(t+1) = P(t)$$V(t) = P(t)W(t)$$V$$W$$V$ tăng lên trên , nó sẽ chuyển các dấu hiệu (nếu không thì mô phỏng W ở tất cả các khía cạnh).$h$$W$

(Trong hình này (với ) W là màu xanh và V là màu đỏ. Có bốn công tắc trong dấu hiệu.)$h=5$$W$$V$

$V$$W$$V$$W$

Mã toán học để tạo ra hình:

With[{h=5},
pv[{p_, v_}, w_] := With[{q=If[v > h, -p, p]}, {q, q w}];
w = Accumulate[RandomInteger[{-1,1}, 25 h^2]];
{p,v} = FoldList[pv, {1,0}, w] // Transpose;
ListPlot[{w,v}, Joined->True]]