Phương sai trung bình mẫu của mẫu bootstrap

9

Đặt là các quan sát riêng biệt (không ràng buộc). Đặt biểu thị một mẫu bootstrap (một mẫu từ CDF theo kinh nghiệm) và cho . Tìm và . $X_{1},...,X_{n}$ $X_{1}^{*},...,X_{n}^{*}$ $\bar{X}_{n}^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*}$ $E(\bar{X}_{n}^{*})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})$

Những gì tôi có cho đến nay là là mỗi cái có xác suất nên và cung cấp cho $X_{i}^{*}$ $X_{1},...,X_{n}$ $\frac{1}{n}$

E (X_{i}^{*}) = \frac{1}{n} E (X_{1}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(X_{i}^{*})=\frac{1}{n}E(X_{1})+...+\frac{1}{n}E(X_{n})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

E (X_{i}^{* 2}) = \frac{1}{n} E (X_{1}^{2}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}^{2}) = \frac{n (μ^{2} + σ^{2})}{n} = μ^{2} + σ^{2},

$E(X_{i}^{*2})=\frac{1}{n}E(X_{1}^{2})+...+\frac{1}{n}E(X_{n}^{2})=\frac{n(\mu^{2}+\sigma^{2})}{n}=\mu^{2}+\sigma^{2}\>,$

V a r (X_{i}^{*}) = E (X_{i}^{* 2}) - (E (X_{i}^{*}))^{2} = μ^{2} + σ^{2} - μ^{2} = σ^{2} .

$\mathrm{Var}(X_{i}^{*})=E(X_{i}^{*2})-(E(X_{i}^{*}))^{2}=\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2} \>.$

Sau đó, và kể từ ' s là độc lập. Điều này mang lại cho

E ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{*}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i}^{*}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(\bar{X}_{n}^{*})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{*})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = V a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{*}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V a r (X_{i}^{*})

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i}^{*})$

X_{i}^{*}

$X_{i}^{*}$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = \frac{n σ^{2}}{n^{2}} = \frac{σ^{2}}{n}

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

Tuy nhiên, tôi không nhận được câu trả lời tương tự khi tôi điều kiện trên và sử dụng công thức cho phương sai có điều kiện: $X_{1},\ldots,X_{n}$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (V a r ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, . . ., X_{n})) + V a r (E ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, \dots, X_{n})) .

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=E(\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},...,X_{n}))+\mathrm{Var}(E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})) \>.$

$E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\bar{X}_{n}$ và vì vậy việc cắm chúng vào công thức trên sẽ cho (sau một số đại số) . $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\frac{1}{n^{2}}(\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}_{n}^{2})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{(2n-1)\sigma^{2}}{n^{2}}$

Tôi đang làm gì đó sai ở đây? Cảm giác của tôi là tôi không sử dụng đúng công thức phương sai có điều kiện nhưng tôi không chắc chắn. Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao.

— rrruss
nguồn

Có thể V (E (X | X1..Xn)) của bạn không được tính toán chính xác. Câu trả lời nên giống nhau.

Bạn có thể đúng - nhưng câu trả lời này dường như không có nhiều thông tin. Có lẽ bạn có thể chỉ ra phần nào không đúng?

— whuber

5

Câu trả lời đúng là . Giải pháp là số 4 tại đây $\frac{n-1}{n^2}S^2$

— Greg
nguồn

4

Đây có thể là một câu trả lời muộn, nhưng những gì sai trong tính toán của bạn là như sau: bạn đã cho rằng mẫu bootstrap của bạn vô điều kiện là iid. Điều này là sai: có điều kiện trên mẫu của bạn, mẫu bootstrap thực sự là iid, nhưng vô điều kiện bạn mất tính độc lập (nhưng bạn vẫn có các biến ngẫu nhiên phân phối giống hệt nhau). Đây thực chất là Bài tập 13 trong Larry Wasserman Tất cả các số liệu thống kê phi tham số .

— Turgeon
nguồn