Điều kiện cần và đủ về MGF chung để độc lập

Giả sử tôi có một hàm tạo mô men khớp cho phân phối chung với CDF . Là vừa là cần thiết và đủ $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ điều kiện để độc lập của và ? Tôi đã kiểm tra một vài cuốn sách giáo khoa, trong đó chỉ đề cập đến sự cần thiết: $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Kết quả đó là rõ ràng khi độc lập ngụ ý . Vì MGF của các lề được xác định bởi MGF chung, chúng ta có: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Nhưng sau khi tìm kiếm trực tuyến, tôi chỉ tìm thấy một tài liệu tham khảo thoáng qua, không có bằng chứng, ngược lại . Là bằng chứng phác thảo sau đây khả thi?

Cho một MGF , điều này xác định duy nhất các phân phối biên của và và MGF của chúng, và $M_{X,Y}(s,t)$ $X$ $Y$ $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ . Các marginals một mình tương thích với nhiều bản phân phối phần khác có thể, và duy nhất xác định sự phân bố chung, trong đó và là độc lập, với CDF và MGF: $X$ $Y$ $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Vì vậy, nếu chúng ta được đưa ra, cho MGF gốc của chúng tôi, rằng , đây là đủ để cho thấy $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ . Sau đó, bằng các uniqeness của MGFs, phân phối chung ban đầu của chúng tôi đã và và là độc lập . $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— Cá bạc
nguồn

Đúng, đó là điều kiện cần và đủ để độc lập không chỉ cho hai biến ngẫu nhiên mà còn cho một chuỗi (hữu hạn) các biến ngẫu nhiên. Kiểm tra ví dụ P.2 trên trang 242 của Xác suất với các ứng dụng thống kê , của Rinaldo B. Schinazi. Hoặc trang 259 của Phân tích kinh tế lượng dữ liệu đếm dựa trên hàm tạo xác suất. Chỉ cần lưu ý rằng "chức năng tạo khoảnh khắc không phải lúc nào cũng tồn tại".

— Thống kê
nguồn

Cảm ơn cho refs rắn. Vâng, đã cẩn thận tuyên bố rằng MGF ban đầu đã được đưa ra khi bắt đầu và cố gắng nhớ để chứng minh rằng bất kỳ MGF nào khác mà tôi gọi là tồn tại như một hệ quả trước khi tôi làm bất cứ điều gì với nó! Những chiến lược bằng chứng đã được sử dụng trong refs của bạn?

— Cá bạc

Bạn đã đọc đoạn văn ngay sau P2 trong tài liệu tham khảo đầu tiên của tôi?

— Stat

À đúng rồi - đó là phần mở rộng của bằng chứng gợi ý của tôi cho vectơ. So sánh MGF của phân phối đã cho với MGF là các thành phần độc lập; vì chúng giống nhau và MGF xác định duy nhất phân phối chung, phân phối chung là phân phối độc lập.

— Cá bạc