Tại sao phân phối của rand () ^ 2 khác với rand () * rand ()?

Trong Libre Office Calc, rand()hàm có sẵn, chọn giá trị ngẫu nhiên từ 0 đến 1 từ phân phối đồng đều. Tôi hơi khó tin vào xác suất của mình, vì vậy khi tôi thấy hành vi sau đây, tôi đã rất bối rối:

A = 200x1 cột của rand()^2

B = 200x1 cột của rand()*rand()

mean(A) = = 1/3

mean(B) = = 1/4

Tại sao mean(A)! = 1/4?

expected-value random-generation uniform

— Jefftopia
nguồn

Bởi vì kỳ vọng bình phương của một biến ngẫu nhiên không bằng bình phương kỳ vọng của nó.

— Michael M

Nếu rand()hoạt động như các toán tử tương tự khác thì A là số bình phương ngẫu nhiên giống nhau và B là hai số ngẫu nhiên, được nhân.

— Peter Flom - Tái lập Monica

Tôi hiểu. Sẽ rất hữu ích mặc dù nếu tôi có thể thấy toán học được đánh vần hoặc liên kết với một tài nguyên thực hiện điều này.

— Jefftopia

Đơn giản hóa tình huống có thể giúp bạn nhìn thấy điểm. Giả sử Rand()đã được thay thế bởi Int(2*Rand()): điều này có giá trị

và

với xác suất bằng nhau. Có hai khả năng cho hình vuông của nó và bốn khả năng cho sản phẩm của hai giá trị (độc lập): điều gì xảy ra khi bạn thực hiện mong đợi của chúng?

0

$0$

1

$1$

— whuber

Câu trả lời:

Nó có thể hữu ích để nghĩ về hình chữ nhật. Hãy tưởng tượng bạn có cơ hội để có được đất miễn phí. Kích thước của đất sẽ được xác định bởi (a) một lần thực hiện biến ngẫu nhiên hoặc (b) hai lần thực hiện cùng một biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp đầu tiên (a), diện tích sẽ là một hình vuông với chiều dài cạnh bằng với giá trị được lấy mẫu. Trong trường hợp thứ hai (b), hai giá trị được lấy mẫu sẽ đại diện cho chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật. Bạn chọn phương án nào?

Đặt là một nhận thức của một biến ngẫu nhiên tích cực. $\mathbf{U}$

a) Giá trị mong đợi của một lần thực hiện xác định diện tích hình vuông bằng . Trung bình, kích thước của khu vực sẽ là $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}^2$

E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

b) Nếu có hai nhận thức độc lập và , diện tích sẽ là . Trung bình, kích thước bằng vì cả hai thực hiện đều từ cùng một phân phối và độc lập. $\mathbf{U}_1$ $\mathbf{U}_2$ $\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

E [U_{1} \cdot U_{2}] = E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Khi chúng ta tính toán sự khác biệt giữa kích thước của các khu vực a) và b), chúng ta thu được

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Thuật ngữ trên giống hệt với vốn đã lớn hơn hoặc bằng . $\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$ $0$

Điều này giữ cho trường hợp chung.

Trong ví dụ của bạn, bạn đã lấy mẫu từ phân phối thống nhất . Vì thế, $\mathcal{U}(0,1)$

E [U] = \frac{1}{2}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$

E^{2} [U] = \frac{1}{4}

$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$

V a r [U] = \frac{1}{12}

$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$

Với ta thu được $\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

E [U^{2}] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

Các giá trị này được dẫn xuất phân tích nhưng chúng khớp với các giá trị bạn thu được với trình tạo số ngẫu nhiên.

— Sven Hohenstein
nguồn

Cho tùy ý

a

$a$

b

$b$

\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3}

$\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$

— John

Đó là một cách sử dụng thông minh của phương sai. Và ở đây tôi đã định học toán trực tiếp.

— affine

Điều này có ý nghĩa với tôi. Tất cả bản lề về phương sai là không âm. Tôi cũng tò mò về cách John nhận được câu trả lời của mình.

— Jefftopia

Về cơ bản chỉ làm theo những gì Sven đã làm, nhưng thay thế chúng bằng các công thức để phân phối thống nhất tổng quát hơn.

— John

E [U^{2}] - E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$ ?

— BoppreH

Không gợi ý rằng có bất cứ điều gì thiếu từ câu trả lời xuất sắc của Sven, nhưng tôi muốn trình bày một câu hỏi tương đối cơ bản cho câu hỏi.

Xem xét âm mưu hai thành phần của mỗi sản phẩm để thấy rằng phân phối chung là rất khác nhau.

plot of u1 vs u2 and u1 vs u1

Lưu ý rằng sản phẩm chỉ có xu hướng lớn (gần 1) khi cả hai thành phần đều lớn, điều này xảy ra dễ dàng hơn nhiều khi hai thành phần này có mối tương quan hoàn hảo thay vì độc lập.

Vì vậy, ví dụ, xác suất sản phẩm vượt quá $1-\epsilon$ (cho nhỏ $\epsilon$ ) nói về $\epsilon/2$ cho $U^2$ Phiên bản ('A'), nhưng dành cho $U_1\times U_2$ ('B') phiên bản đó là về $\epsilon^2/2$ .

Hoàn toàn khác biệt!

Nó có thể giúp vẽ các đường viền sản phẩm iso trên các biểu đồ như trên - nghĩa là các đường cong trong đó xy = hằng số cho các giá trị như 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Khi bạn đi đến các giá trị lớn hơn và lớn hơn, tỷ lệ các điểm ở trên và bên phải của đường viền sẽ giảm nhanh hơn nhiều đối với trường hợp độc lập.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn