Trung vị của một phân phối phi trung tâm là gì?

10

Giá trị trung bình của phân bố phi trung tâm với tham số không trung tâm gì? Đây có thể là một câu hỏi vô vọng vì CDF dường như được thể hiện dưới dạng một tổng vô hạn và tôi không thể tìm thấy bất kỳ thông tin nào về hàm CDF nghịch đảo. $\delta \ne 0$

— shabbychef
nguồn

11

Bạn có thể ước chừng nó.

Ví dụ: tôi đã thực hiện các phi tuyến phù hợp sau cho (bậc tự do) từ 1 đến 20 và (tham số không trung tính) từ 0 đến 5 (theo các bước của 1/2). Để cho $\nu$ $\delta$

a (ν) = 0.963158 + \frac{0.051726}{ν - 0.705428} + 0.0112409 \log (ν),

$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$

b (ν) = - 0.0214885 + \frac{0.406419}{0.659586 + ν} + 0.00531844 \log (ν),

$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$

và

g (ν, δ) = δ + a (ν) \exp (b (ν) δ) - 1.

$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$

Sau đó ước tính trung vị trong khoảng 0,15 cho , 0,03 cho , .015 cho và .007 cho . $g$ $\nu=1$ $\nu=2$ $\nu=3$ $\nu = 4, 5, \ldots, 20$

Việc ước tính được thực hiện bằng cách tính toán các giá trị của và cho từng giá trị của từ 1 đến 20 và sau đó tách riêng và thành . Tôi đã kiểm tra các ô của và để xác định một dạng chức năng phù hợp cho các khớp này. $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$

Bạn có thể làm tốt hơn bằng cách tập trung vào các khoảng của các tham số quan tâm đến bạn. Đặc biệt, nếu bạn không quan tâm đến các giá trị thực sự nhỏ của bạn có thể dễ dàng cải thiện các ước tính này, có thể nằm trong khoảng 0,005 một cách nhất quán. $\nu$

Dưới đây là các ô của trung vị so với cho , trường hợp khó nhất và phần dư âm (trung bình thực trừ đi giá trị gần đúng) so với : $\delta$ $\nu=1$ $\delta$

Không trung tâm t trung vị, đồng bằng từ 0 đến 5, nu = 1

Dư lượng trung bình không trung tâm, đồng bằng từ 0 đến 5, nu = 1

Phần dư thực sự nhỏ so với trung vị.

BTW, đối với tất cả nhưng mức độ tự do nhỏ nhất, trung vị gần với tham số phi tập trung. Đây là biểu đồ của trung vị, cho từ 0 đến 5 và (được coi là tham số thực) từ 1 đến 20. $\delta$ $\nu$

Không trung tâm t trung vị so với nu và delta (trong giả 3D)

Đối với nhiều mục đích, sử dụng để ước tính trung vị có thể đủ tốt. Dưới đây là một biểu đồ của lỗi (liên quan đến ) được tạo ra bằng cách giả sử trung vị bằng (cho từ 2 đến 20). $\delta$ $\delta$ $\delta$ $\nu$

(Trung vị - đồng bằng) / đồng bằng so với đồng bằng và nu

— whuber
nguồn

3

+1, tuyệt vời. Làm thế nào bạn đưa ra hình thức chức năng cho ?

g

$g$

— mpiktas

1

@mpiktas Một sự kết hợp của việc xem xét các công thức cho CDF và vẽ sơ đồ trung bình so với . Hàm mũ, với hai tham số, thực sự phù hợp cũng như đa thức bậc hai (có ba tham số).

ν

$\nu$

— whuber

5

Nếu bạn quan tâm đến (mức độ tự do) ν> 2, biểu thức tiệm cận sau đây [xuất phát từ một phép tính gần đúng nội suy với số lượng sinh viên không tập trung, DL Bartley, Ann. Nghề nghiệp. Hyg., Tập. 52, 2008] đủ chính xác cho nhiều mục đích:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

Với ν> 2, cường độ tối đa của độ lệch của biểu thức trên so với trung bình học sinh không trung bình là khoảng 2% và giảm xuống nhanh chóng khi tăng ν. Biểu đồ đường viền cho thấy độ lệch của xấp xỉ tiệm cận so với trung bình học sinh không trung bình:

— David Bartley
nguồn