Số liệu thống kê không phải là toán học?

Là thống kê toán học hay không?

Cho rằng đó là tất cả các con số, chủ yếu được dạy bởi các khoa toán học và bạn có được tín chỉ toán học cho nó, tôi tự hỏi liệu mọi người chỉ nói đùa một nửa khi họ nói nó, giống như nói đó là một phần nhỏ của toán học, hoặc chỉ là toán học ứng dụng.

Tôi tự hỏi nếu một cái gì đó như số liệu thống kê, nơi bạn không thể xây dựng mọi thứ trên các tiên đề cơ bản có thể được coi là toán học. Ví dụ, giá trị , là một khái niệm nảy sinh ý nghĩa của dữ liệu, nhưng nó không phải là hệ quả logic của các nguyên tắc cơ bản hơn.$p$

Toán học liên quan đến trừu tượng lý tưởng hóa (hầu như luôn luôn) có giải pháp tuyệt đối, hoặc thực tế là không có giải pháp nào như vậy tồn tại nói chung có thể được mô tả đầy đủ. Đó là khoa học khám phá những hậu quả phức tạp nhưng cần thiết từ các tiên đề đơn giản.

Thống kê sử dụng toán học, nhưng nó không phải là toán học. Đó là phỏng đoán có giáo dục. Đó là đánh bạc.

Thống kê không đối phó với sự trừu tượng lý tưởng hóa (mặc dù nó sử dụng một số làm công cụ), nó liên quan đến các hiện tượng trong thế giới thực. Các công cụ thống kê thường thực hiện các giả định đơn giản hóa để giảm dữ liệu thế giới thực lộn xộn thành một cái gì đó phù hợp với lĩnh vực vấn đề của một trừu tượng toán học đã giải quyết. Điều này cho phép chúng ta đưa ra những phỏng đoán có giáo dục, nhưng đó thực sự là tất cả những thống kê đó là: nghệ thuật tạo ra những phỏng đoán được thông tin rất tốt.

Xem xét kiểm định giả thuyết với giá trị p. Giả sử chúng tôi đang kiểm tra một số giả thuyết có ý nghĩa và sau khi thu thập dữ liệu, chúng tôi tìm thấy giá trị p là . Vì vậy, chúng tôi bác bỏ giả thuyết khống để ủng hộ một giả thuyết thay thế.$\alpha = 0.01$$0.001$

Nhưng giá trị p này thực sự là gì? Tầm quan trọng là gì? Thống kê kiểm tra của chúng tôi đã được phát triển sao cho phù hợp với phân phối cụ thể, có thể là của sinh viên. Theo giả thuyết khống, phần trăm của thống kê kiểm tra quan sát của chúng tôi là giá trị p. Nói cách khác, giá trị p đưa ra xác suất rằng chúng ta sẽ nhận được một giá trị khác xa với kỳ vọng phân phối (hoặc xa hơn) như thống kê kiểm tra quan sát được. Mức ký hiệu là một mức cắt ngang quy tắc khá độc đoán: đặt nó thành tương đương với câu nói: "Có thể chấp nhận được nếu 1 trong 100 lần lặp lại của thí nghiệm này cho thấy rằng chúng tôi từ chối null, ngay cả khi thực tế là null. "$0.01$

Giá trị p cho chúng ta xác suất để chúng ta quan sát dữ liệu trong tay khi cho rằng null là đúng (hay đúng hơn, về mặt kỹ thuật hơn một chút, chúng ta quan sát dữ liệu theo giả thuyết null cung cấp cho chúng ta ít nhất là giá trị cực trị của kiểm tra thống kê như những gì chúng tôi tìm thấy). Nếu chúng ta sẽ từ chối null, thì chúng ta muốn xác suất này nhỏ, tiến gần đến 0. Trong ví dụ cụ thể của chúng tôi, chúng tôi thấy rằng xác suất quan sát dữ liệu chúng tôi thu thập được nếu giả thuyết null là đúng chỉ là , vì vậy chúng tôi đã từ chối null. Đây là một phỏng đoán có giáo dục. Chúng tôi không bao giờ thực sự biết chắc chắn rằng giả thuyết null là sai khi sử dụng các phương pháp này, chúng tôi chỉ phát triển một phép đo cho việc bằng chứng của chúng tôi hỗ trợ mạnh mẽ như thế nào.$0.1\%$

Chúng ta đã sử dụng toán học để tính giá trị p? Chắc chắn rồi. Nhưng toán học không cho chúng ta kết luận. Dựa trên bằng chứng, chúng tôi đã hình thành một quan điểm có giáo dục, nhưng nó vẫn là một canh bạc. Chúng tôi đã tìm thấy những công cụ này cực kỳ hiệu quả trong 100 năm qua, nhưng những người trong tương lai có thể tự hỏi sự kinh hoàng trước sự mong manh của các phương pháp của chúng tôi.

Lưỡi chắc nịch trong má:

Einstein rõ ràng đã viết

Theo như các định luật toán học đề cập đến thực tế, chúng không chắc chắn; và theo như họ chắc chắn, họ không đề cập đến thực tế.

vì vậy thống kê là nhánh của toán học mô tả thực tế. ; o)

Tôi muốn nói rằng thống kê là một nhánh của toán học giống như logic là một nhánh của toán học. Nó chắc chắn bao gồm một yếu tố triết học, nhưng tôi không nghĩ đó là nhánh duy nhất của toán học trong trường hợp đó (ví dụ: Morris Kline, "Toán học - Mất sự chắc chắn", Nhà xuất bản Đại học Oxford, 1980).

Chà, nếu bạn nói rằng " một cái gì đó giống như thống kê, nơi bạn không thể xây dựng mọi thứ trên các tiên đề cơ bản " thì có lẽ bạn nên đọc về lý thuyết xác suất tiên đề của Kolmogorov. Kolmogorov định nghĩa xác suất theo cách trừu tượng và tiên đề như bạn có thể thấy trong pdf này ở trang 42 hoặc ở đây ở cuối trang 1 và các trang tiếp theo .

Chỉ để cung cấp cho bạn một hương vị của các định nghĩa trừu tượng của mình, anh ta định nghĩa một biến ngẫu nhiên là một hàm 'có thể đo lường' như được giải thích theo cách 'trực quan' hơn ở đây: Nếu một biến ngẫu nhiên là một hàm, thì làm thế nào để chúng ta xác định một hàm của một biến ngẫu nhiên

Với số lượng tiên đề rất hạn chế và sử dụng kết quả từ lý thuyết đo lường (lại là toán học), anh ta có thể định nghĩa các khái niệm là các biến ngẫu nhiên, phân phối, xác suất có điều kiện, ... theo một cách trừu tượng và rút ra tất cả các kết quả nổi tiếng như định luật về số lượng lớn, ... Từ bộ tiên đề này. Tôi khuyên bạn hãy dùng thử và bạn sẽ ngạc nhiên về vẻ đẹp toán học của nó.

Để giải thích về giá trị p tôi đề cập đến: Hiểu sai về giá trị P?

Tôi không có cơ sở nghiêm ngặt hoặc triết học để trả lời điều này, nhưng tôi đã nghe thấy khiếu nại "thống kê không phải là toán học" từ mọi người, thường là các loại vật lý. Tôi nghĩ mọi người muốn đảm bảo sự chắc chắn từ toán học của họ và thống kê (thường) chỉ đưa ra kết luận xác suất với các giá trị p liên quan. Trên thực tế, đây là chính xác những gì tôi yêu thích về số liệu thống kê. Chúng ta sống trong một thế giới không chắc chắn về cơ bản, và chúng ta làm tốt nhất có thể để hiểu nó. Và chúng tôi làm một công việc tuyệt vời, tất cả mọi thứ xem xét.

Có thể đó là vì tôi là một người plebe và chưa tham gia bất kỳ khóa học toán nâng cao nào, nhưng tôi không hiểu tại sao thống kê không phải là toán học. Các đối số ở đây và trên một câu hỏi trùng lặp dường như tranh luận hai điểm chính là tại sao thống kê không phải là toán học ^* .

1. Nó không chính xác / chắc chắn, và như vậy phụ thuộc vào các giả định.
2. Nó áp dụng toán học cho các vấn đề và bất cứ khi nào bạn áp dụng toán học, nó không còn là toán học nữa.

Không chính xác và sử dụng các giả định

Giả định / xấp xỉ là hữu ích cho rất nhiều toán học.

Các tính chất của một hình tam giác mà tôi đã học ở trường tiểu học tôi tin rằng được coi là toán học thực sự, mặc dù chúng không đúng trong hình học phi Elucidean. Vì vậy, rõ ràng việc thừa nhận các giới hạn, hoặc đã nêu một cách khác "giả sử XYZ sau đây là hợp lệ", đối với một nhánh toán học không đủ tiêu chuẩn để trở thành toán học "thực sự".

Tính toán Tôi chắc chắn sẽ được coi là một dạng toán học thuần túy, nhưng giới hạn là công cụ cốt lõi mà chúng tôi xây dựng. Chúng ta có thể tiếp tục tính toán đến giới hạn, giống như chúng ta có thể tiếp tục làm cho kích thước mẫu lớn hơn, nhưng không đưa ra cái nhìn sâu sắc vượt qua một ngưỡng nhất định.

Một khi bạn áp dụng toán học, nó không phải là toán học

Mâu thuẫn rõ ràng ở đây là chúng ta sử dụng toán học để chứng minh các định lý toán học, và không ai tranh luận rằng việc chứng minh các định lý toán học không phải là toán học.

Câu lệnh tiếp theo có thể thing xkhông phải là toán nếu bạn sử dụng toán để có kết quả. Điều đó cũng không có nghĩa gì cả.

Tuyên bố tôi đồng ý là khi bạn sử dụng kết quả của phép tính để đưa ra quyết định thì quyết định không phải là toán học . Điều đó không có nghĩa là phân tích dẫn đến quyết định không phải là toán học .

Tôi nghĩ rằng khi chúng ta sử dụng phân tích thống kê, tất cả các phép toán được thực hiện là toán học thực sự. Chỉ có một lần chúng ta trao kết quả cho ai đó để giải thích thì thống kê thoát khỏi toán học. Như những thống kê và thống kê như vậy đang làm toán học thực sự và là những nhà toán học thực sự. Đó là cách giải thích được thực hiện bởi doanh nghiệp và / hoặc bản dịch kết quả cho doanh nghiệp bởi nhà thống kê không phải là toán học.

Từ các ý kiến:

người nói

Nếu bạn thay thế "thống kê" bằng "hóa học", "kinh tế học", "kỹ thuật" hoặc bất kỳ lĩnh vực nào sử dụng toán học (như kinh tế gia đình), có vẻ như không có lý lẽ nào của bạn thay đổi.

Tôi nghĩ rằng sự khác biệt chính giữa "hóa học", "kỹ thuật" và "cân bằng sổ séc của tôi" là những lĩnh vực đó chỉ sử dụng các khái niệm toán học hiện có . Theo hiểu biết của tôi, các nhà thống kê như Guass đã mở rộng cơ thể của các khái niệm toán học. Tôi tin rằng ^{(điều này có thể sai một cách trắng trợn)} rằng để kiếm được bằng tiến sĩ về thống kê, bạn phải đóng góp, theo một cách nào đó, để mở rộng cơ thể của các khái niệm toán học. Ứng viên Tiến sĩ Hóa học / Kỹ thuật không có yêu cầu đó đối với kiến ​​thức của tôi.

Sự khác biệt mà thống kê đóng góp cho cơ thể của các khái niệm toán học là điều làm cho nó khác biệt với các lĩnh vực khác chỉ sử dụng các khái niệm toán học .

*: Ngoại lệ đáng chú ý là câu trả lời này nêu rõ các ranh giới là giả tạo do nhiều lý do xã hội khác nhau. Tôi nghĩ đó là câu trả lời đúng duy nhất, nhưng đâu là niềm vui trong đó? ;)

Các bài kiểm tra thống kê, mô hình và các công cụ suy luận được xây dựng bằng ngôn ngữ toán học, và các nhà thống kê đã chứng minh về mặt toán học những cuốn sách dày về những kết quả rất quan trọng và thú vị về chúng. Trong nhiều trường hợp, các bằng chứng cung cấp bằng chứng thuyết phục rằng các công cụ thống kê được đề cập là đáng tin cậy và / hoặc mạnh mẽ.

Thống kê và cộng đồng của nó có thể không đủ "thuần túy" đối với các nhà toán học về một sở thích nhất định, nhưng nó chắc chắn được đầu tư vào toán học vô cùng sâu sắc, và thống kê lý thuyết cũng là một nhánh của toán học như vật lý lý thuyết hoặc khoa học máy tính lý thuyết.

"Sự khác biệt" dựa vào: lý luận quy nạp so với lý luận suy diễn so với suy luận. Chẳng hạn, không có định lý toán học nào có thể cho biết phân phối nào hoặc trước đó bạn có thể sử dụng cho dữ liệu / mô hình của mình.

Nhân tiện, thống kê Bayes là một khu vực tiên đề.

Đây có thể là một ý kiến ​​rất phổ biến, nhưng với lịch sử và sự hình thành các khái niệm thống kê (và lý thuyết xác suất), tôi coi thống kê là một nhánh con của vật lý .

Thật vậy, Gauss ban đầu chính thức hóa mô hình hồi quy bình phương nhỏ nhất trong các dự đoán thiên văn. Phần lớn các đóng góp cho thống kê trước khi Fisher đến từ các nhà vật lý (hoặc các nhà toán học ứng dụng cao có công việc sẽ được gọi là Vật lý theo tiêu chuẩn ngày nay): Lyapunov, De Moivre, Gauss, và một hoặc nhiều Bernoullis.

Nguyên tắc bao trùm là đặc tính của các lỗi và dường như tính ngẫu nhiên được truyền từ một số lượng vô hạn các nguồn biến thể không được đo lường. Khi các thí nghiệm trở nên khó kiểm soát hơn, các lỗi thử nghiệm cần được mô tả chính thức và tính toán để hiệu chỉnh tính ưu việt của bằng chứng thực nghiệm chống lại mô hình toán học được đề xuất. Sau đó, khi vật lý hạt đào sâu vào vật lý lượng tử , việc chính thức hóa các hạt như các phân phối ngẫu nhiên đã cho một ngôn ngữ ngắn gọn hơn nhiều để mô tả sự ngẫu nhiên dường như không thể kiểm soát được với các photon và electron.

Các tính chất của các công cụ ước tính như giá trị trung bình của chúng (trung tâm khối lượng) và độ lệch chuẩn (giây thứ hai của độ lệch) rất trực quan đối với các nhà vật lý. Phần lớn các định lý giới hạn có thể được kết nối một cách lỏng lẻo với định luật Murphy, tức là phân phối chuẩn giới hạn là entropy tối đa.

Vì vậy, số liệu thống kê là một nhánh con của vật lý.