Phân phối tổng bình phương của các biến ngẫu nhiên phân bố T

Tôi đang xem xét phân phối tổng bình phương của các biến ngẫu nhiên phân bố T, với số mũ $\alpha$ . Trong đó X là rv, biến đổi Fourier cho $X^2$ , $\mathscr{F}(t)$ cho tôi một giải pháp cho hình vuông trước khi tích chập $\mathscr{F}(t)^n$ .

$$\mathscr{F}(t)=\int_0^{\infty } \exp \left(i\, t\, x^2\right)\left(\frac{\left(\frac{\alpha }{\alpha +x^2}\right)^{\frac{\alpha +1}{2}} }{\sqrt{\alpha }\ B\left(\frac{\alpha }{2},\frac{1}{2}\right)}\right) \, \mathrm{d}x$$

Với $\alpha=3$ , giải pháp là có thể nhưng khó sử dụng và không thể đảo ngược để thực hiện một Fourier ngược cho $\mathscr{F}(t)^n$ . Vì vậy, câu hỏi là: công việc đã được thực hiện trên phân phối phương sai mẫu hay độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên phân phối T? (Nó sẽ là cho StudentT những gì bình phương Chi cho Gaussian). Cảm ơn bạn.

(Giải pháp có thể) Tôi đã tìm ra rằng $X^2$ là phân phối Fisher $F(1,\alpha)$ , do đó sẽ xem xét tổng các biến phân phối của Fisher.

(Giải pháp có thể) Từ các hàm đặc trưng, ​​trung bình của tổng X 2 có cùng hai thời điểm phân phối F ( n , α ) khi chúng tồn tại. Do đó với u căn bậc hai và thực hiện thay đổi biến trong phân phối xác suất, mật độ của độ lệch chuẩn của biến n mẫu T có thể xấp xỉ bằng: g ( u ) = 2 α α / 2 n n / 2 u n - 1 ( α + n u $n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

$$g(u)=\frac{2 \alpha ^{\alpha /2} n^{n/2} u^{n-1} \left(\alpha +n u^2\right)^{-\frac{\alpha }{2}-\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{\alpha }{2}\right)}$$

$n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

$t_{\alpha }$

$T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$$F(1,\alpha)$$\alpha$

$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$, đó là kết quả mà chúng tôi mong đợi khi tính tổng các biến thiên bình thường (tiêu chuẩn) bình phương.]

Lấy mẫu phân phối phương sai Khi lấy mẫu từ một Phân phối$t_{\alpha }$

Xem xét những gì tôi đã viết ở trên, biểu thức bạn nhận được cho "mật độ của độ lệch chuẩn của các biến T mẫu n" là không chính xác. Tuy nhiên, ngay cả khi là phân phối chính xác, độ lệch chuẩn không chỉ đơn giản là căn bậc hai của tổng bình phương (như bạn dường như đã sử dụng để đến mật độ ). Thay vào đó, bạn sẽ tìm phân phối lấy mẫu (được chia tỷ lệ) của . Trong trường hợp bình thường, LHS của biểu thức này có thể được viết lại dưới dạng tổng của các biến bình thường bình phương (thuật ngữ bên trong hình vuông có thể được viết lại dưới dạng kết hợp tuyến tính của các biến thông thường được phân phối lại một lần nữa) dẫn đến Quen biết$F(n,\alpha)$$g(u)$$\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$ phân phối. Thật không may, một tổ hợp tuyến tính của các biến (thậm chí có cùng mức độ tự do) không được phân phối dưới dạng , vì vậy không thể khai thác một cách tiếp cận tương tự.$t$$t$

Có lẽ bạn nên xem xét lại những gì bạn muốn chứng minh? Có thể đạt được mục tiêu bằng cách sử dụng một số mô phỏng, ví dụ. Tuy nhiên, bạn chỉ ra một ví dụ với , tình huống chỉ có khoảnh khắc đầu tiên của là hữu hạn, do đó mô phỏng sẽ không giúp ích cho việc tính toán khoảnh khắc như vậy. $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

Bạn có thể muốn kiểm tra bản phân phối T của Hotelling ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution ). Có mối quan hệ với là phân phối ( http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distribution_and_properies ), nhưng tôi không chắc đây là chính xác những gì bạn đang yêu cầu. $T^2$$F$