Làm thế nào để tạo các điểm phân phối đồng đều trong bóng đơn vị 3-d?

Tôi đã đăng một câu hỏi trước đây , điều này có liên quan nhưng tôi nghĩ tốt hơn là bắt đầu một chủ đề khác. Lần này, tôi tự hỏi làm thế nào để tạo các điểm phân phối đồng đều bên trong quả cầu đơn vị 3-d và làm thế nào để kiểm tra phân phối một cách trực quan và thống kê? Tôi không thấy các chiến lược được đăng ở đó có thể chuyển trực tiếp đến tình huống này.

Cách dễ nhất là lấy mẫu các điểm đồng nhất trong hypercube tương ứng và loại bỏ những điểm không nằm trong quả cầu. Trong 3D, điều này không nên xảy ra thường xuyên, khoảng 50% thời gian. (Thể tích của hypercube là 1, thể tích của hình cầu là )$\frac{4}{3}\pi r^3 = 0.523...$

Bạn cũng có thể làm điều này trong tọa độ hình cầu, trong trường hợp đó không có từ chối. Trước tiên, bạn tạo ra các bán kính và hai góc độ một cách ngẫu nhiên, sau đó bạn sử dụng công thức chuyển đổi sang phục hồi , y và z ( x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ).$x$$y$$z$$x = r \sin \theta \cos \phi$$y = r \sin \theta \sin \phi$$z = r \cos \theta$

Bạn tạo unifomly giữa 0 và 2 π . Bán kính r và độ nghiêng θ là không đồng đều mặc dù. Xác suất một điểm nằm trong quả cầu có bán kính r là r 3 nên hàm mật độ xác suất của r là 3 r 2 . Bạn có thể dễ dàng kiểm tra xem căn bậc ba của một biến thống nhất có cùng phân phối chính xác không, vì vậy đây là cách bạn có thể tạo r . Xác suất mà một điểm dối trá trong một hình nón hình cầu được xác định bởi độ nghiêng θ là ( 1 - cos $\phi$$0$$2\pi$$r$$\theta$$r$$r^3$$r$$3 r^2$$r$$\theta$ hoặc 1 - ( 1 - cos ( - θ ) ) / 2 nếu θ > π / 2 . Vì vậy, mật độ θ là s i n ( θ ) / 2 . Bạn có thể kiểm tra trừ đi Arccosine của một biến thống nhất có mật độ phù hợp.$(1-\cos\theta)/2$$1 - (1-\cos (-\theta))/2$$\theta > \pi/2$$\theta$$sin(\theta)/2$

Hoặc đơn giản hơn, chúng ta có thể mô phỏng các cosin của beteen thống nhất - 1 và 1 .$\theta$$-1$$1$

Trong R, nó sẽ trông như dưới đây.

n <- 10000 # For example n = 10,000.
phi <- runif(n, max=2*pi)
r <- runif(n)^(1/3)
cos_theta <- runif(n, min=-1, max=1)
x <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * cos(phi)
y <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * sin(phi)
z <- r * cos_theta

Trong quá trình viết và chỉnh sửa câu trả lời này, tôi nhận ra rằng giải pháp này ít tầm thường hơn tôi nghĩ.

$(x,y,z)$$r$

xyz <- matrix(rnorm(3*n), ncol=3)
lambda <- runif(n)^(1/3) / sqrt(rowSums(xyz^2))
xyz <- xyz*lambda

$P$$P = N/||N|| * U^{1/n}$$N$$U$$[0,1]$$1/n$$n$

Et voilà!