Ý nghĩa của việc biểu diễn đơn giản như một bề mặt tam giác trong phân phối Dirichlet?

Tôi đang đọc từ một cuốn sách giới thiệu bản phân phối Dirchlava và sau đó trình bày số liệu về nó. Nhưng tôi không thể hiểu những con số đó. Tôi đính kèm hình ở đây ở phía dưới. Những gì tôi không hiểu là ý nghĩa của các hình tam giác.

Thông thường khi một người muốn vẽ một hàm gồm 2 biến, bạn lấy giá trị của var1 và va2 và sau đó vẽ giá trị của giá trị hàm của hai biến đó ... sẽ hiển thị trực quan theo chiều 3D. Nhưng ở đây có 3 chiều và một giá trị khác cho giá trị hàm để nó hiển thị trong không gian 4D. Tôi không thể hiểu những con số đó!

Tôi hy vọng ai đó có thể làm rõ chúng xin vui lòng!

BIÊN TẬP: đây là những gì tôi không hiểu từ hình 2.14a. Vì vậy, chúng tôi đã rút ra từ K = 3 dirichlet một mẫu theta (về cơ bản là một vectơ) đó là: theta = [theta1, theta2, theta3]. Các ô tam giác [theta1, theta2, theta3]. Khoảng cách từ gốc đến mỗi theta_i là giá trị của theta_i. Sau đó, với mỗi theta_i, nó đặt một đỉnh và kết nối cả ba đỉnh và tạo thành một hình tam giác. Tôi biết rằng nếu tôi cắm [theta1, theta2, theta3] vào dir (theta | a) tôi sẽ nhận được một số là xác suất chung của vectơ theta. Tôi cũng hiểu rằng xác suất cho các biến ngẫu nhiên liên tục là thước đo của một khu vực. Nhưng ở đây chúng ta có 3 chiều nên xác suất chung sẽ là thước đo thể tích của không gian từ mặt phẳng màu hồng và bên dưới ... tức là kim tự tháp. Bây giờ tôi không hiểu vai trò của tam giác ở đây là gì.

Tôi không hiểu vai trò của tam giác ở đây là gì. Nó đang cố gắng để giao tiếp hoặc hình dung là gì?

Tất cả các điểm trong tam giác phải thỏa mãn hai ràng buộc: giữa 0 và một ở mỗi chiều ( ) và tất cả tổng hợp thành một ( ).θ 0 + θ 1 + θ 2 = $0 \leq \theta \leq 1$$\theta_0 + \theta_1 + \theta_2 = 1$

Cách cuối cùng tôi hiểu nó là như sau:

Vì vậy (a) hiển thị không gian 3 chiều với dưới dạng tọa độ. Chúng chỉ nằm trong khoảng từ 0 đến 1.$\theta_{1, 2, 3}$

Trong (b), một hình tam giác được hiển thị, đây là đơn giản của chúng tôi.

(c) hiển thị hai điểm ví dụ "nằm" trên đơn giản, cũng đáp ứng các tiêu chí thứ hai (tính tổng lên một).

(d) hiển thị một điểm ví dụ khác trên đơn giản, các ràng buộc tương tự giữ

Trong (e), tôi đã cố gắng hiển thị hình chiếu của hình tam giác đơn giản sang hình tam giác 2 chiều với tất cả các điểm ví dụ được hiển thị trước đó.

Hy vọng nó có ý nghĩa hơn bây giờ :)

Đồ thị 2.14 (a) cho thấy một mặt phẳng được tạo bởi ba đỉnh trên mỗi trục. Khoảng cách của một đỉnh từ gốc tọa độ là , tương ứng với một trong các lớp . Vùng được bao quanh bởi mặt phẳng màu hồng và các mặt phẳng của trục là xác suất của (vectơ) k = 3 $\theta_i$$k=3$$\theta$. Bây giờ giả sử rằng bạn nghiêng mặt phẳng đó để bạn có một hình chóp với mặt phẳng màu hồng, mặt gần đầu đọc nhất, được đặt phẳng trên trang. Sau đó, loại bỏ kích thước thứ ba "bật ra" của trang và thay vào đó tô màu hình tam giác sao cho vùng mật độ cao hơn, với khoảng cách dài hơn từ gốc đến bề mặt, có màu đỏ hơn. Đó là những gì đồ thị 2.14 (b) và 2.14 (c) hiển thị. Càng nhiều màu đỏ tập trung gần một đỉnh, lớp càng có khả năng liên kết với đỉnh đó. Tương tự như vậy, nếu vùng màu đỏ không gần với bất kỳ đỉnh nào, thì đặc biệt là một sự kiện có xác suất thành viên cao hơn trong bất kỳ lớp nào.

Kim tự tháp này, mặc dù, chỉ có ý nghĩa như là một nhận thức duy nhất của phân phối Dirichlet. Vẽ lại từ cùng một phân phối có thể mang lại một kim tự tháp khác nhau với độ dài khác nhau cho mỗi đỉnh. Sự khác biệt chính giữa (a) và (b) / (c) là (a) hiển thị bằng đồ họa xác suất của một lần vẽ vectơ . Đồ thị (b) và (c) hiển thị mật độ xác suất cho các giá trị trong đơn giản, nghĩa là chúng đang cố gắng trình bày hàm mật độ xác suất cho tất cả các giá trịq q k = 3 q q ~ Dir ( α $\theta$$\theta$$\theta$$k=3$$\theta$trong hỗ trợ. Một cách để nghĩ về (b) và (c) là một điểm có thêm màu đỏ theo chiều cao trung bình giữa mặt phẳng màu hồng phẳng và bề mặt của kim tự tháp, tính trung bình trên nhiều hình vẽ của .$\theta\sim\text{Dir}(\alpha)$