Có một công thức hình thức đóng cho (hoặc một số loại ràng buộc trên) EMD giữa và ?
Có một công thức hình thức đóng cho (hoặc một số loại ràng buộc trên) EMD giữa và ?
Câu trả lời:
khoảng cách các mover trái đất có thể được viết như , nơi infimum được thực hiện trên tất cả các bản phân phối chung của X và Y với marginals X \ sim P , Y \ sim Q . Đây còn được gọi là khoảng cách Wasserstein đầu tiên , đó là W_p = \ inf \ left (\ E \ lVert X - Y \ rVert ^ p \ right) ^ {1 / p} với cùng mức tối thiểu.
Đặt , .
Giới hạn dưới: Do bất đẳng thức của Jensen, vì các chỉ tiêu là lồi,
Giới hạn trên dựa trên :
Một lần nữa bởi bất đẳng thức của Jensen,
. Do đó, . Nhưng Dowson và Landau (1982) thiết lập rằng
Giới hạn trên chặt chẽ hơn:
Hãy xem xét khớp nối
Đây là bản đồ được dẫn xuất bởi Knott và Smith (1984) , Về ánh xạ tối ưu của các bản phân phối , Tạp chí Lý thuyết và Ứng dụng Tối ưu hóa, 43 (1) Trang 39-49 là ánh xạ tối ưu cho ; xem thêm bài blog này . Lưu ý rằng và
Khoảng cách là , trong đó bây giờ
là bình thường với
Do đó, giới hạn trên của là . Thật không may, một hình thức đóng cho kỳ vọng này là khó chịu đáng ngạc nhiên để viết ra cho các quy tắc đa biến nói chung: xem câu hỏi này , cũng như câu hỏi này .
Nếu phương sai của kết thúc là hình cầu (ví dụ: , , thì phương sai của trở thành ) câu hỏi đưa ra câu trả lời dưới dạng đa thức Laguerre tổng quát.
Nói chung, chúng tôi có một giới hạn trên đơn giản cho dựa trên sự bất bình đẳng của Jensen, xuất phát, ví dụ trong câu hỏi đầu tiên:
Sự bất bình đẳng này rất nghiêm ngặt miễn là không suy biến, đó là hầu hết các trường hợp khi .
Một phỏng đoán : Có thể điều này gần hơn giới hạn trên, , là chặt chẽ. Sau đó, một lần nữa, tôi đã có một giới hạn trên khác nhau ở đây trong một thời gian dài mà tôi phỏng đoán là chặt chẽ mà thực tế lại lỏng lẻo hơn so với , vì vậy có lẽ bạn không nên tin vào phỏng đoán này quá nhiều. :)