Phân phối ổn định dương trong R

Phân phối ổn định dương được mô tả bởi bốn tham số: tham số độ lệch , tham số tỷ lệ , tham số vị trí và vì vậy tham số chỉ mục -called \ alpha \ in (0,2] . Khi \ beta bằng 0, phân phối đối xứng quanh \ mu , khi nó dương (tương ứng âm) phân phối bị lệch sang phải (tương ứng bên trái) Phân phối ổn định cho phép đuôi chất béo khi \ alpha giảm.$\beta\in[-1,1]$$\sigma>0$$\mu\in(-\infty,\infty)$$\alpha\in(0,2]$$\beta$$\mu$$\alpha$

Khi $\alpha$ hoàn toàn nhỏ hơn một và $\beta=1$ sự hỗ trợ của phân phối giới hạn ở $(\mu,\infty)$ .

Hàm mật độ chỉ có biểu thức dạng đóng cho một số kết hợp giá trị cụ thể cho các tham số. Khi $\mu=0$ , $\alpha<1$ , $\beta=1$ và $\sigma=\alpha$ thì đó là (xem công thức (4.4) tại đây ):

$f(y) = -\frac{1}{\pi y} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma(k\alpha+1)}{k!} (-y^{-\alpha})^k \sin(\alpha k \pi)$

Nó có ý nghĩa vô hạn và phương sai.

Câu hỏi

Tôi muốn sử dụng mật độ đó trong R. Tôi sử dụng

> alpha <- ...
> dstable(y, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)

nơi dstable chức năng đi kèm với các gói fBasics.

Bạn có thể xác nhận đây là cách đúng để tính mật độ đó trong R không?

Cảm ơn bạn trước!

BIÊN TẬP

Một lý do tại sao tôi nghi ngờ là, trong đầu ra, giá trị của delta khác với giá trị đầu vào. Thí dụ:

> library(fBasics)
> alpha <- 0.4
> dstable(4, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
stable   0.4    1   0.4 0.290617  1

Câu trả lời ngắn gọn là của bạn vẫn ổn, nhưng của bạn sai. Để có được phân phối ổn định dương được cung cấp bởi công thức của bạn trong R, bạn cần đặt $\delta$$\gamma$

$$\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}.$$

Ví dụ sớm nhất tôi có thể tìm thấy công thức bạn đưa ra là (Feller, 1971), nhưng tôi chỉ tìm thấy cuốn sách đó ở dạng vật lý. Tuy nhiên (Hougaard, 1986) đưa ra công thức tương tự, cùng với biến đổi Laplace Từ hướng dẫn sử dụng ( được sử dụng trong ), việc tham số hóa là từ (Samorodnitsky và Taqqu, 1994), một tài nguyên khác mà việc tái tạo trực tuyến đã lảng tránh tôi. Tuy nhiên (Weron, 2001) cung cấp chức năng đặc trưng trong tham số hóa của Samorodnitsky và Taqqu cho là

$$\mathrm{L}(s) = \mathrm{E}\left[\exp(-sX)\right] = \exp\left(-s^\alpha\right).$$ stablediststabledistfBasicspm=1$\alpha \neq 1$ $$\varphi(t) = \mathrm{E}\left[\exp(i t X) \right] = \exp\left[i \delta t - \gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \beta \mathrm{sign}(t) \tan{\frac{\pi \alpha}{2}} \right) \right].$$ Tôi đã đổi tên một số thông số từ giấy của Weron thành coinside với ký hiệu chúng tôi đang sử dụng. Anh ta sử dụng cho và cho . Trong mọi trường hợp, cắm và , chúng tôi nhận được $\mu$$\delta$$\sigma$$\gamma$$\beta=1$$\delta=0$ $$\varphi(t) = \exp\left[-\gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \mathrm{sign}(t) \tan \frac{\pi \alpha}{2} \right) \right].$$

Lưu ý rằng cho và rằng . Chính thức, , do đó, bằng cách đặt trong chúng tôi nhận được Một điểm thú vị cần lưu ý là tương ứng với cũng là , vì vậy nếu bạn muốn thử hoặc$(1 - i \tan (\pi \alpha / 2)) / |1 - i \tan(\pi \alpha / 2)| = \exp(-i \pi \alpha / 2)$$\alpha \in (0, 1)$$i^\alpha = \exp(i \pi \alpha / 2)$$\mathrm{L}(s)=\varphi(is)$$\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}$$\varphi(t)$

$$\varphi(is) = \exp\left(-s^\alpha\right) = \mathrm{L}(s).$$ $\gamma$$\alpha=1/2$$1/2$$\gamma=\alpha$$\gamma=1-\alpha$, đó thực sự không phải là một xấp xỉ xấu, bạn kết thúc chính xác cho .$\alpha=1/2$

Đây là một ví dụ trong R để kiểm tra tính chính xác:

library(stabledist)

# Series representation of the density
PSf <- function(x, alpha, K) {
  k <- 1:K
  return(
    -1 / (pi * x) * sum(
      gamma(k * alpha + 1) / factorial(k) * 
        (-x ^ (-alpha)) ^ k * sin(alpha * k * pi)
    )
  )
}

# Derived expression for gamma
g <- function(a) {
  iu <- complex(real=0, imaginary=1)
  return(abs(1 - iu * tan(pi * a / 2)) ^ (-1 / a))
}

x=(1:100)/100
plot(0, xlim=c(0, 1), ylim=c(0, 2), pch='', 
     xlab='x', ylab='f(x)', main="Density Comparison")
legend('topright', legend=c('Series', 'gamma=g(alpha)'),
       lty=c(1, 2), col=c('gray', 'black'),
       lwd=c(5, 2))
text(x=c(0.1, 0.25, 0.7), y=c(1.4, 1.1, 0.7), 
     labels=c(expression(paste(alpha, " = 0.4")),
              expression(paste(alpha, " = 0.5")),
              expression(paste(alpha, " = 0.6"))))

for(a in seq(0.4, 0.6, by=0.1)) {
  y <- vapply(x, PSf, FUN.VALUE=1, alpha=a, K=100)
  lines(x, y, col="gray", lwd=5, lty=1)
  lines(x, dstable(x, alpha=a, beta=1, gamma=g(a), delta=0, pm=1), 
        col="black", lwd=2, lty=2)
}

$\hskip1in$

1. Feller, W. (1971). Giới thiệu về Lý thuyết xác suất và các ứng dụng của nó , 2 , tái bản lần 2. New York: Wiley.
2. Hougaard, P. (1986). Các mô hình sinh tồn cho các quần thể không đồng nhất có nguồn gốc từ các bản phân phối ổn định , Biometrika 73 , 387-394.
3. Samorodnitsky, G., Taqqu, MS (1994). Các quy trình ngẫu nhiên phi Gauss ổn định , Chapman & Hall, New York, 1994.
4. Ma quỷ, R. (2001). Các bản phân phối ổn định Levy được xem xét lại: chỉ số đuôi> 2 không loại trừ chế độ ổn định Levy , Tạp chí quốc tế về Vật lý hiện đại C, 2001, 12 (2), 209-223.

Những gì tôi nghĩ đang xảy ra là trong đầu ra deltacó thể báo cáo một giá trị vị trí nội bộ, trong khi ở đầu vào deltalà mô tả sự thay đổi. [Dường như có vấn đề tương tự với gammakhi nào pm=2.] Vì vậy, nếu bạn cố gắng tăng ca lên 2

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1)
[1] 0.06569375
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 2.290617  1

sau đó bạn thêm 2 vào giá trị vị trí.

Với beta=1và pm=1bạn có một biến ngẫu nhiên dương với phân phối giới hạn dưới 0.

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=1))
[1] 0.002666507

Thay đổi 2 và giới hạn dưới tăng cùng một lượng

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1))
[1] 2.003286

Nhưng nếu bạn muốn deltađầu vào là giá trị vị trí bên trong thay vì thay đổi hoặc giới hạn dưới, thì bạn cần sử dụng một thông số kỹ thuật khác cho các tham số. Ví dụ: nếu bạn thử các cách sau (với pm=3và thử delta=0và delta=0.290617bạn đã tìm thấy trước đó), bạn dường như nhận được cùng một thông deltatin. Với pm=3và delta=0.290617bạn có cùng mật độ 0,02700602 bạn đã tìm thấy trước đó và giới hạn dưới ở mức 0. Với pm=3và delta=0bạn nhận được giới hạn dưới âm (thực tế là -0.290617).

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3)
[1] 0.02464434
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma delta pm
 stable   0.4    1   0.4     0  3
> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 0.290617  3
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3))
[1] -0.2876658
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3))
[1] 0.004303485

Bạn có thể thấy dễ dàng hơn để bỏ qua deltađầu ra, và miễn là bạn giữ beta=1thì sử dụng pm=1phương tiện deltatrong đầu vào là phân phối giới hạn dưới, có vẻ như bạn muốn là 0.

Cũng cần lưu ý: Martin Maechler chỉ tái cấu trúc mã cho phân phối ổn định và thêm một số cải tiến.

Stablesist gói mới của anh ấy cũng sẽ được sử dụng bởi fBasics, vì vậy bạn có thể muốn cung cấp cho cái nhìn này là tốt.