Xác suất để vẽ một quả bóng đen trong một tập hợp các quả bóng đen và trắng với các điều kiện thay thế hỗn hợp

Khi một quả bóng đen được rút ra, nó không được thay thế trong tập hợp, nhưng những quả bóng màu trắng được thay thế.

Tôi đã nghĩ về điều này, với các ký hiệu:

$b$ , số ban đầu của bóng đen và trắng $w$
$x_i = (b - i)/(b + w - i)$

Xác suất vẽ một quả bóng đen sau khi n vẽ: $Pb(n)$

\begin{aligned} P b (0) & = x_{0} \\ P b (1) & = (1 - x_{0}) x_{0} + x_{0} x_{1} \\ P b (2) & = (1 - x_{0})^{2} x_{0} + x_{0} x_{1} (1 - x_{0}) + x_{0} x_{1} (1 - x_{1}) + x_{0} x_{1} x_{2} \\ P b (n) & = \sum_{k = 0}^{n - 1} (\prod_{i = 0}^{k} x_{i} \prod_{i <= k}^{n - k t e r m s} 1 - x_{i}) \end{aligned}

$\eqalign{ Pb(0) &= x_0\\ Pb(1) &= (1-x_0)x_0 + x_0x_1\\ Pb(2) &= (1-x_0)^2x_0 + x_0x_1(1-x_0)+ x_0x_1(1-x_1) + x_0x_1x_2 \\ Pb(n) &= \sum\limits_{k=0}^{n-1} (\prod\limits_{i=0}^k x_i \prod\limits_{i<=k}^{n-k\ terms} 1-x_i) }$

Tổng này dường như vô hạn với n, ngay cả khi một số thuật ngữ là null vì $x_{i \ge b}=0$

Ngoại trừ : $b=1$
$Pb(n) = (1-x_0)^nx_0$

Với : $b=2$
$Pb(n)= x_0(1-x_1)^n + x_0x_1\sum\limits_{i+j=n-1} (1-x_0)^i(1-x_1)^j$

Có một giải pháp được biết đến cho vấn đề này?

conditional-probability randomness

— caub
nguồn

Đặt số bóng trắng ban đầu là và bóng đen là . Câu hỏi mô tả chuỗi Markov có trạng thái được lập chỉ mục bằng số lượng bóng đen có thể Xác suất chuyển tiếp là $w$ $b$ $i \in \{0, 1, 2, \ldots, b\}.$

p_{w} (i, i) = \frac{w}{w + i}, p_{w} (i, i - 1) = \frac{i}{w + i} .

$p_w(i, i) = \frac{w}{w+i}, \quad p_w(i,i-1) = \frac{i}{w+i}.$

Đầu tiên mô tả vẽ một quả bóng trắng, trong trường hợp không thay đổi, và lần thứ hai mô tả vẽ một quả bóng đen, trong trường hợp đó giảm đi . $i$ $i$ $1$

Từ giờ trở đi, chúng ta hãy bỏ chỉ mục rõ ràng " ", lấy giá trị này là cố định trong suốt. Các giá trị riêng của ma trận chuyển tiếp là $w$ $\mathbb{P}$

e = (\frac{w}{w + b - i}, i = 0, 1, \dots, b)

$\mathbf{e} = \left(\frac{w}{w+b-i},\ i = 0, 1, \ldots, b\right)$

tương ứng với ma trận được cung cấp bởi $\mathbb{Q}$

q_{i j} = (- 1)^{i + j + b} (j + w) (\binom{b}{j}) w^{j - b} (\binom{b - j}{i}) (b - i + w)^{b - j - 1}

$q_{ij} = (-1)^{i+j+b} (j+w) \binom{b}{j} w^{j-b} \binom{b-j}{i} (b-i+w)^{b-j-1}$

mà nghịch đảo là

(q^{- 1})_{i j} = \frac{w^{b - i} (\binom{j}{b - i}) (b - j + w)^{i - b}}{(\binom{b}{b - i})} .

$(q^{-1})_{ij} = \frac{w^{b-i} \binom{j}{b-i} (b-j+w)^{i-b}}{\binom{b}{b-i}}.$

Đó là,

P = Q Diagonal (e) Q^{- 1} .

$\mathbb{P} = \mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e})\ \mathbb{Q}^{-1}.$

Do đó, phân phối sau khi chuyển ra khỏi trạng thái được cho bởi vectơ xác suất $n$ $b$

p_{n} = (0, 0, \dots, 0, 1) P^{n} = (0, 0, \dots, 0, 1) Q Diagonal (e^{n}) Q^{- 1} .

$\mathbf{p}_n = (0,0,\ldots,0,1) \mathbb{P}^n = (0,0,\ldots,0,1)\mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e}^n)\ \mathbb{Q}^{-1}.$

Đó là, các cơ hội có bóng đen còn lại sau khi thu hút được $i$ $n$

p_{n i} = \sum_{j = 0}^{b} q_{n j} e_{j}^{n} (q^{- 1})_{j i} .

$p_{ni} = \sum_{j=0}^b q_{nj} e_j^n (q^{-1})_{ji}.$

Ví dụ: bắt đầu với bất kỳ số lượng bóng trắng và bóng đen, phân phối xác suất sau khi rút ra là $b=2$ $n \ge 1$

\begin{aligned} Pr (i = 2) & = p_{n 2} & = \frac{w^{n}}{(2 + w)^{n}} \\ Pr (i = 1) & = p_{n 1} & = \frac{2 w^{n - 1}}{(1 + w)^{n - 1}} - \frac{2 w^{n - 1} (1 + w)}{(2 + w)^{n}} \\ Pr (i = 0) & = p_{n 0} & = 1 - \frac{2 w^{n - 1}}{(1 + w)^{n - 1}} + \frac{w^{n - 1}}{(2 + w)^{n - 1}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(i=2) &= p_{n2} &= \frac{w^n}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=1) &= p_{n1} &= \frac{2w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} - \frac{2 w^{n-1}(1+w)}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=0) &= p_{n0} &= 1 - \frac{2 w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} + \frac{w^{n-1}}{(2+w)^{n-1}}. }$

Nhân vật

Các đường cong trong hình này theo dõi xác suất của các trạng thái (màu xanh), (màu đỏ) và (vàng) là một hàm của số lần rút khi ; đó là, chiếc bình bắt đầu với hai quả bóng đen và năm quả bóng trắng. $i=0$ $i=1$ $i=2$ $n$ $w=5$

Trạng thái (hết bóng đen) là trạng thái hấp thụ : trong giới hạn khi phát triển không bị ràng buộc, xác suất của trạng thái này đạt đến sự thống nhất (nhưng không bao giờ đạt được chính xác). $i=0$ $n$

— whuber
nguồn

rất đẹp, vì vậy (đối với b = 2) proba vẽ màu đen sau n vẽ, là Pr (i = 2) * 2 / (w + 2) + Pr (i = 1) * 1 / (w + 1) ? kích thước của ma trận là bxb phải không? và Pr (i) là pii?

— caub

Tôi đã bỏ chỉ mục trong các công thức cuối cùng, vì vậy là chẳng hạn. Các ma trận có kích thước bằng .

n

$n$

Pr (i = 2)

$\Pr(i=2)$

p_{n 2},

$p_{n2},$

b + 1

$b+1$

b + 1

$b+1$

— whuber