Có phải một hàm liên kết chính tắc luôn tồn tại cho Mô hình tuyến tính tổng quát (GLM) không?

Trong GLM, giả sử một vô hướng và cho việc phân phối tiềm ẩn với pdf $Y$ $\theta$ Có thể thấy rằng. Nếu chức năng liên kếtđáp ứng những điều sau đây,nơilà yếu tố dự báo tuyến tính, sau đóđược gọi là chức năng liên kết chuẩn cho mô hình này.

f_{Y} (y | θ, τ) = h (y, τ) \exp (\frac{θ y - A (θ)}{d (τ)})

$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$

μ = E (Y) = A^{'} (θ)

$\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (μ) = θ = X^{'} β

$g(\mu)=\theta = X'\beta$

X^{'} β

$X'\beta$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

Câu hỏi của tôi là, một chức năng liên kết chính tắc luôn tồn tại cho một GLM? Nói cách khác, có thể $A'(\theta)$ luôn được đảo ngược? Các điều kiện cần thiết cho một chức năng liên kết chính tắc tồn tại là gì?

generalized-linear-model exponential-family

— Vĩ
nguồn

$A'(\theta) = E(Y)$ $A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

Vì tham số phương sai và độ phân tán là khác không (và thậm chí là dương) là một hàm tăng nghiêm ngặt và phải khả nghịch. $A'(\theta)$

Tuy nhiên, tôi không chắc có những bản phân phối của gia đình này có phương sai vô hạn hay không. Tôi đã không thể tìm thấy những ví dụ như vậy.

— Vainius
nguồn