Công thức ước lượng hồi quy lượng tử

Tôi đã thấy hai biểu diễn khác nhau của công cụ ước lượng hồi quy lượng tử là

Q (β_{q}) = \sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

và

Q (β_{q}) = \sum_{i = 1}^{n} ρ_{q} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}), ρ_{q} (u) = u_{i} (q - 1 (u_{i} < 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

trong đó . Ai đó có thể cho tôi biết làm thế nào để thể hiện sự tương đương của hai biểu thức này? Đây là những gì tôi đã cố gắng cho đến nay, bắt đầu từ biểu thức thứ hai. $u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} Q (β_{q}) & = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} (q - 1 (u_{i} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) (q - 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = [\sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q})) + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}))] (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$ Nhưng từ thời điểm này tôi đã bế tắc về cách tiến hành. Xin lưu ý rằng đây không phải là một bài tập về nhà hoặc câu hỏi bài tập. Cảm ơn nhiều.

proof quantile-regression equivalence

— AlexH
nguồn

Nếu bạn còn nhớ, OLS giảm thiểu tổng số phần dư bình phương trong khi hồi quy trung bình giảm thiểu tổng số dư tuyệt đối . Công cụ ước tính độ lệch trung bình hoặc độ lệch tuyệt đối (LAD) là một trường hợp đặc biệt của hồi quy lượng tử trong đó bạn có . Trong hồi quy lượng tử, chúng tôi giảm thiểu một tổng các lỗi tuyệt đối nhận trọng số không đối xứng cho mức giá quá cao và cho mức giá thấp. Bạn có thể bắt đầu từ biểu diễn LAD và mở rộng phần này dưới dạng tổng của phần dữ liệu được tính theo và với giá trị của và làm việc với nó như sau: $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{q} (u) & = 1 (u_{i} > 0) q ∣ u_{i} ∣ + 1 (u_{i} \leq 0) (1 - q) ∣ u_{i} ∣ \\ = 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} > 0) q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} \leq 0) (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$ Điều này chỉ sử dụng thực tế là và sau đó bạn có thể viết lại hàm chỉ báo dưới dạng tổng của các quan sát thỏa mãn điều kiện của các chỉ báo . Điều này sẽ đưa ra biểu thức đầu tiên bạn viết ra cho công cụ ước lượng hồi quy lượng tử.

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + (1 - q) \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - (1 - q) \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) + q \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - \sum_{i = 1}^{n} 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} \leq 0) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (q - 1 (u_{i} \leq 0)) u_{i} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

Dòng thứ hai lấy ra các trọng số từ các tổng. Dòng thứ ba được loại bỏ các giá trị tuyệt đối và thay thế chúng bằng các giá trị thực tế. Theo định nghĩa là âm bất cứ khi nào , do đó dấu hiệu thay đổi trong dòng này. Dòng thứ tư nhân lên . Sau đó, bạn nhận ra rằng và thay thế tổng của thuật ngữ giữa trong dòng thứ tư bằng chỉ báo tương ứng bạn đến dòng thứ năm Hệ số hóa và sau đó thay thế $y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) + q \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$
Điều này cho thấy hai biểu thức tương đương nhau như thế nào.

— Andy
nguồn