Ví dụ về CLT khi khoảnh khắc không tồn tại

Hãy xem xét $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

Tôi cần chỉ ra rằng mặc dù điều này có những khoảnh khắc vô hạn,

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

Tôi đã thử thể hiện điều này bằng cách sử dụng Định lý liên tục của Levy, tức là đã cố gắng chỉ ra rằng chức năng đặc trưng của phía bên trái hội tụ đến chức năng đặc trưng của tiêu chuẩn thông thường. Tuy nhiên, điều này dường như không thể hiển thị.

Một gợi ý được cung cấp cho vấn đề này là cắt bớt từng , tức là để và sử dụng điều kiện Lindeberg để hiển thị rằng . $X_i$ $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$

Tuy nhiên, tôi đã không thể chỉ ra rằng điều kiện Lyapunov được thỏa mãn. Điều này chủ yếu là vì không hành xử như tôi muốn. Tôi muốn chỉ lấy các giá trị -1 và 1, tuy nhiên, cách nó được xây dựng, nó có thể lấy các giá trị $Y_{ni}$ $Y_{ni}$ $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— Công viên xanh
nguồn

Nếu bạn cắt ngắn ở , hãy kiểm tra đoạn cuối một cách cẩn thận để biết các giá trị mà biến bị cắt cụt có thể đảm nhận. Ở bất cứ giá nào, hãy thử cắt ngắn ở thay vào đó, sử dụng Borel-Cantelli và sau đó là Slutsky để có kết quả. Bạn sẽ có thể sử dụng Lindeberg hoặc Lyapunov trên phần bị cắt bớt (mặc dù tôi không thực sự kiểm tra điều đó).

n

$n$

1

$1$

— Đức Hồng Y

Xin lỗi vì điều đó. Thay đổi nó thành những khoảnh khắc "vô tận"

— Greenparker

@cardinal Tôi đã xem qua các giá trị có thể có thể lấy lại và thêm một sàn vào thuật ngữ nhật ký. Nếu không, các giá trị có vẻ đúng. Nếu tôi cắt ngắn ở 1, tôi sẽ nhận được các giá trị tôi muốn cho và sẽ có thể áp dụng điều kiện Lindeberg để hội tụ trở lại bình thường. Tuy nhiên, tôi không thấy cách này sẽ ngụ ý sự hội tụ thành bình thường cho

Y_{n i}

$Y_{ni}$

Y_{n i}

$Y_{ni}$

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— Greenparker

" " là gì? Bạn chưa mô tả bối cảnh trong đó có các mẫu hoặc nhiều phiên bản của mỗi , từ đó - đưa ra những gì được nêu trong câu hỏi - về cách đọc duy nhất có thể có của ký hiệu này là nó đề cập đến ý nghĩa của , nghĩa là luôn luôn vô hạn và là một số, không phải là một phân phối. Do đó, chúng tôi phải tưởng tượng bạn đang dự tính các mẫu iid của , nhưng bạn cần cho chúng tôi biết điều này và bạn đặc biệt cần quy định kích thước mẫu là gì.

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

— whuber

Đây là câu trả lời dựa trên nhận xét của @ cardinal:

Đặt không gian mẫu là đường dẫn của các quá trình ngẫu nhiên và , trong đó chúng ta để . Điều kiện Lindeberg (phù hợp với ký hiệu của Wikipedia ) được thỏa mãn, vì: cho bất kỳ là bất cứ khi nào $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$

\frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} E (Y_{i}^{2} 1_{{| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}}}) \leq \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} P (| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}) \to 0,

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$

ϵ

$\epsilon$

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$

n \to \infty .

$n\to \infty.$

Chúng ta cũng có bởi Borel-Cantelli kể từ sao cho . Nói cách khác, và chỉ khác nhau một cách chính xác thường gần như chắc chắn. $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ $X_i$ $Y_i$

Xác định và tương đương với . Chọn một đường dẫn mẫu của sao cho chỉ dành cho nhiều . Lập chỉ mục các thuật ngữ này theo . Yêu cầu cũng từ đường dẫn này rằng là hữu hạn. Đối với đường dẫn như vậy, trong đó . Hơn nữa, với đủ lớn , $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ $S_{Y,n}$ $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ $X_i > 1$ $i$ $\mathcal{J}$ $X_j,j\in \mathcal{J}$

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$

n

$n$

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

Sử dụng kết quả Borel-Cantelli cùng với thực tế là gần như chắc chắn là hữu hạn, chúng tôi thấy rằng xác suất của một đường dẫn mẫu tuân theo các yêu cầu của chúng tôi là một. Nói cách khác, các thuật ngữ khác nhau gần như chắc chắn. Do đó, theo định lý của Slutsky, với đủ lớn , trong đó . $X_i$ $n$

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$

— ekvall
nguồn