Tại sao sai số chuẩn của phần chặn tăng thêm

Sai số chuẩn của thuật ngữ đánh chặn ( β 0 ) trong y = β 1 x + β 0 + ε được cho bởi S E ( β 0 ) 2 = σ 2 [ 1$\hat{\beta}_0$$y=\beta_1x+\beta_0+\varepsilon$ trong đóˉxlà giá trị trung bình củaxi's.

Từ những gì tôi hiểu, Sở GDCK định lượng uncertainty- của bạn ví dụ, trong 95% của các mẫu, khoảng sẽ chứa đúng β 0 . Tôi không hiểu làm thế nào SE, một thước đo của sự không chắc chắn, tăng với ˉ x . Nếu tôi chỉ đơn giản là thay đổi dữ liệu của mình, sao cho ˉ x = 0 , sự không chắc chắn của tôi sẽ giảm? Điều đó có vẻ không hợp lý.$[\hat{\beta}_0-2SE,\hat{\beta}_0+2SE]$$\beta_0$$\bar{x}$$\bar{x}=0$

Một cách giải thích tương tự được - trong phiên bản uncentered dữ liệu của tương ứng với dự đoán của tôi tại x = 0 , trong khi ở các dữ liệu làm trung tâm, beta 0 tương ứng với dự đoán của tôi tại x = ˉ x . Vì vậy, thực hiện điều này thì có nghĩa là sự không chắc chắn của tôi về dự đoán của tôi tại x = 0 là không chắc chắn lớn hơn của tôi về dự đoán của tôi tại x = ˉ x ? Điều đó có vẻ không hợp lý quá, sai số ε có cùng phương sai cho tất cả các giá trị của $\hat{\beta}_0$$x=0$$\hat{\beta}_0$$x=\bar{x}$$x=0$$x=\bar{x}$$\epsilon$$x$, do đó, sự không chắc chắn của tôi trong các giá trị dự đoán của tôi phải giống nhau cho tất cả .$x$

Có những khoảng trống trong sự hiểu biết của tôi Tôi chắc chắn. Ai đó có thể giúp tôi hiểu những gì đang xảy ra?

Bởi vì đường hồi quy phù hợp với bình phương tối thiểu thông thường sẽ nhất thiết phải đi qua giá trị trung bình của dữ liệu của bạn (nghĩa là ), miễn là bạn không triệt tiêu sự không chắc chắn của chặn chặn về giá trị thực của dốc không ảnh hưởng đến vị trí dọc của dòng tại giá trị trung bình của x (ví dụ, tại y ˉ x ). Điều này chuyển thành độ không đảm bảo theo chiều dọc ít hơn ở ˉ x so với bạn càng ở xa ˉ x . Nếu chặn, trong đó x = 0 là ˉ $(\bar x, \bar y)$$x$$\hat y_{\bar x}$$\bar x$$\bar x$$x=0$$\bar x$, sau đó điều này sẽ giảm thiểu sự không chắc chắn của bạn về giá trị thực của . Trong thuật ngữ toán học, điều này chuyển thành giá trị nhỏ nhất có thể của sai số chuẩn cho β 0 . $\beta_0$$\hat\beta_0$

Đây là một ví dụ nhanh trong R:

set.seed(1)                           # this makes the example exactly reproducible
x0      = rnorm(20, mean=0, sd=1)     # the mean of x varies from 0 to 10
x5      = rnorm(20, mean=5, sd=1)
x10     = rnorm(20, mean=10, sd=1)
y0      = 5 + 1*x0  + rnorm(20)       # all data come from the same  
y5      = 5 + 1*x5  + rnorm(20)       #  data generating process
y10     = 5 + 1*x10 + rnorm(20)
model0  = lm(y0~x0)                   # all models are fit the same way
model5  = lm(y5~x5)
model10 = lm(y10~x10)

Con số này hơi bận rộn, nhưng bạn có thể thấy dữ liệu từ một số nghiên cứu khác nhau trong đó phân phối của gần hơn hoặc xa hơn từ 0 . Các dốc khác nhau một chút từ nghiên cứu để nghiên cứu, nhưng phần lớn là tương tự nhau. (Lưu ý tất cả họ đều đi qua X được khoanh tròn mà tôi sử dụng để đánh dấu ( ˉ x , ˉ y ) .) Tuy nhiên, sự không chắc chắn về giá trị thực sự của những sườn gây ra sự không chắc chắn về y để mở rộng hơn nữa bạn nhận được từ ˉ x , có nghĩa là S E ( $x$$0$$(\bar x, \bar y)$$\hat y$$\bar x$$SE(\hat\beta_0)$là rất rộng đối với dữ liệu được lấy mẫu trong vùng lân cận và rất hẹp đối với nghiên cứu trong đó dữ liệu được lấy mẫu gần x = 0 . $x=10$$x=0$

Chỉnh sửa để đáp ứng với lời nhận xét: Thật không may, canh giữa dữ liệu của bạn sau khi bạn có chúng sẽ không giúp bạn nếu bạn muốn biết khả năng giá trị tại một số x giá trị x mới . Thay vào đó, bạn cần tập trung vào bộ sưu tập dữ liệu của mình ở điểm bạn quan tâm ngay từ đầu. Để hiểu những vấn đề này đầy đủ hơn, nó có thể giúp bạn đọc câu trả lời của tôi ở đây: Khoảng dự đoán hồi quy tuyến tính . $y$$x$$x_\text{new}$