Sự hội tụ trong phân phối \ CLT

Cho rằng $N = n$ , distr có điều kiện. của là . có distr cận biên. của Poisson ( ), là hằng số dương. $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

Chứng tỏ rằng, như , trong phân phối. $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

Bất cứ ai có thể đề nghị các chiến lược để giải quyết điều này. Có vẻ như chúng ta cần sử dụng CLT (Định lý giới hạn trung tâm) nhưng có vẻ khó để có bất kỳ thông tin nào về trên chính nó. Có một rv có thể được giới thiệu để lấy một mẫu, để tạo không? $Y$ $Y$

Đây là bài tập về nhà nên gợi ý đánh giá cao.

— người dùng42102
nguồn

Trông giống như một điều clt với tôi quá. Có thể nó đã rõ ràng với bạn, nhưng như theta-> Infinity điều gì xảy ra với N?

— PeterR

Tôi có nên nhìn vào sự phân phối của N? Nếu tôi chơi xung quanh nó, có vẻ như pdf sẽ luôn là 0. Tôi có thể suy ra điều gì?

— dùng42102

ý nghĩa của một biến ngẫu nhiên poisson (theta) là gì?

— PeterR

Tôi đã trộn lẫn N trong câu hỏi này và cỡ mẫu n trong định nghĩa của CLT. Vậy

. Vì vậy, chúng ta thấy rằng giá trị kỳ vọng của N tiếp cận vô hạn. Tôi không chắc chắn nơi để đi từ đây mặc dù.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— dùng42102

Bạn nên nhìn vào phân phối bình phương chi trung tâm. Chứng minh giới hạn là bình thường sẽ phức tạp hơn một ứng dụng đơn giản của CLT mà tôi sợ.

— caburke

Câu trả lời:

Tôi cung cấp một giải pháp dựa trên các thuộc tính của các hàm đặc trưng, được định nghĩa như sau Chúng ta biết phân phối được uniquelly xác định bởi hàm đặc trưng, vì vậy tôi sẽ chứng minh rằng

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

và từ đó sau sự hội tụ mong muốn.

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

Vì vậy, tôi sẽ cần tính trung bình và phương sai của , mà tôi sử dụng luật tổng kỳ vọng / phương sai - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_recectation . $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

Tôi đã sử dụng giá trị trung bình và phương sai của phân phối Poisson là

và giá trị trung bình và phương sai của

là

và

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$ . Bây giờ đến tính toán với các chức năng đặc trưng. Lúc đầu, tôi viết lại định nghĩa của

Bây giờ tôi lý sử dụng mà các nước

Y

$Y$ là

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$

Các chức năng đặc trưng của

là

, được lấy từ đây:

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$ http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_feft_(probability_theory)

Vì vậy, bây giờ chúng tôi tính toán hàm đặc trưng cho sử dụng Taylor mở rộng cho $Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

— Fimba
nguồn

Điều này có thể được thể hiện thông qua mối quan hệ với phân phối chisquared phi tập trung. Có một bài viết tốt trên wikipedia mà tôi sẽ tham khảo một cách tự do! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

Bạn đã cho rằng $Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

$Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ đi về 0, do đó, khối lượng điểm ở mức 0 biến mất (biến chisquared với độ tự do bằng 0 phải được hiểu là một điểm ở 0, do đó, không có hàm mật độ).

$k$ $k$ $k$

— kjetil b halvorsen
nguồn