Giải thích trực quan về sự đóng góp vào tổng của hai biến ngẫu nhiên thường được phân phối

Nếu tôi có hai biến ngẫu nhiên độc lập và có nghĩa là và và độ lệch chuẩn và và tôi phát hiện ra rằng , thì (giả sử tôi không mắc lỗi nào) phân phối có điều kiện của và cho cũng được phân phối bình thường với phương tiện và độ lệch chuẩn $X$ $Y$ $\mu_X$ $\mu_Y$ $\sigma_X$ $\sigma_Y$ $X+Y=c$ $X$ $Y$ $c$

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

Không có gì ngạc nhiên khi các độ lệch chuẩn có điều kiện giống như, được đưa ra $c$ , nếu cái này tăng thì cái kia phải giảm cùng một lượng. Điều thú vị là độ lệch chuẩn có điều kiện không phụ thuộc vào $c$ .

Những gì tôi không thể có được vòng đầu của mình là các phương tiện có điều kiện, trong đó chúng chiếm một phần của phần thừa $(c - \mu_X - \mu_Y)$ tỷ lệ với phương sai ban đầu, không phải với độ lệch chuẩn ban đầu.

Ví dụ: nếu chúng có phương tiện bằng 0, $\mu_X=\mu_Y=0$ và độ lệch chuẩn $\sigma_X =3$ và $\sigma_Y=1$ thì điều kiện trên $c=4$ chúng ta sẽ có $E[X|c=4]=3.6$ và $E[Y|c=4]=0.4$ , tức là theo tỷ lệ $9:1$ mặc dù tôi có thể nghĩ theo trực giác rằng tỷ lệ $3:1$ sẽ tự nhiên hơn. Bất cứ ai có thể đưa ra một lời giải thích trực quan cho điều này?

Điều này đã bị kích động bởi một câu hỏi Math.SE

normal-distribution conditional-probability

— Henry
nguồn

Câu hỏi dễ dàng giảm xuống cho trường hợp bằng cách xem và . $\mu_X = \mu_Y = 0$ $X-\mu_X$ $Y-\mu_Y$

Rõ ràng các phân phối có điều kiện là bình thường. Do đó, giá trị trung bình, trung bình và chế độ của mỗi loại là trùng khớp. Các chế độ sẽ xảy ra ở tọa độ tối đa cục bộ của PDF bivariate của và bị ràng buộc với đường cong . Điều này ngụ ý đường viền của PDF bivariate tại vị trí này và đường cong ràng buộc có các tiếp tuyến song song. (Đây là lý thuyết về số nhân Lagrange.) Bởi vì phương trình của bất kỳ đường viền nào có dạng đối với một số hằng (nghĩa là tất cả các đường viền đều là hình elip), độ dốc của chúng phải song song, từ đó tồn tại sao cho $X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ $\rho$ $\lambda$

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = = \nabla f (x, y) = = λ \nabla g (x, y) = = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Ngay sau đó, các chế độ của phân phối có điều kiện (và do đó cũng là phương tiện) được xác định bởi tỷ lệ phương sai, không phải của SD.

Phân tích này cũng hoạt động cho và tương quan và nó áp dụng cho bất kỳ ràng buộc tuyến tính nào, không chỉ tổng. $X$ $Y$

— whuber
nguồn

Điều đó rất ấn tượng, và đầy đủ hơn tôi đã yêu cầu. Tôi sẽ hài lòng với sơ đồ và một tuyên bố rằng tiếp tuyến của hình elip không đi qua tâm hình elip, do đó, điểm đỏ tiếp tuyến phải lấy nhiều hơn một cách không tương xứng từ biến ngẫu nhiên có độ lệch chuẩn cao hơn.

— Henry

Điều đó không được diễn đạt tốt. Ý tôi là đường thẳng từ tâm đến điểm đỏ không vuông góc với tiếp tuyến.

— Henry