Có phải giá trị trung bình và phương sai luôn tồn tại cho các phân phối gia đình theo cấp số nhân?

Giả sử một biến ngẫu nhiên vô hướng thuộc họ hàm mũ tham số vectơ với pdf $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

trong đó là vectơ tham số và là thống kê đủ khớp. ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$

Có thể chỉ ra rằng giá trị trung bình và phương sai cho mỗi tồn tại. Tuy nhiên, giá trị trung bình và phương sai của (tức là và ) có luôn tồn tại không? Nếu không, có một ví dụ về phân phối gia đình theo cấp số nhân của hình thức này mà trung bình và biến không tồn tại? $T_i(x)$ $X$ $E(X)$ $Var(X)$

Cảm ơn bạn.

— Vĩ
nguồn

Lấy , , và sẽ cho đã cung cấp , tạo ra $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

Nhân vật

Đồ thị của được hiển thị cho (tương ứng màu xanh lam, đỏ và vàng). $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

Rõ ràng những khoảnh khắc tuyệt đối của trọng số hoặc lớn hơn không tồn tại, bởi vì integrand , tỷ lệ bất đối xứng với , sẽ tạo ra một tích phân hội tụ ở các giới hạn khi và chỉ khi . Đặc biệt, khi phân phối này thậm chí không có giá trị trung bình (và chắc chắn không phải là phương sai). $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— whuber
nguồn

Tôi không hiểu điều kiện . Ý bạn là ? Khi , không được xác định và âm và không thể là pdf Vui lòng cho tôi biết những gì tôi đã bỏ lỡ. Cảm ơn.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— Ngụy

Tôi xin lỗi, bởi vì một dấu trừ được bỏ qua trong tính toán của . Tôi đã thay thế nó trong các công thức. Tôi thực sự có nghĩa là .

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

Cảm ơn bạn cho ví dụ. Tôi đồng ý về những khoảnh khắc của. Làm thế nào về những khoảnh khắc của chính nó? Ví dụ: khi trong ví dụ của bạn ở trên, có tồn tại không?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— Ngụy

Vì tích phân Lebesgue được xác định theo các phần dương và phần âm của tích phân, các khoảnh khắc của tồn tại khi và chỉ khi các khoảnh khắc củahiện hữu.

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei: chỉ tồn tại nếu . Không có hạn chế này, kỳ vọng không được xác định duy nhất cho một số CDF.

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— Dennis