Làm thế nào để giữ các biến bất biến thời gian trong một mô hình hiệu ứng cố định

Tôi có dữ liệu về nhân viên của một công ty lớn của Ý trong hơn mười năm và tôi muốn xem khoảng cách giới tính trong thu nhập nam-nữ đã thay đổi theo thời gian như thế nào. Với mục đích này, tôi chạy OLS gộp: trong đó là thu nhập nhật ký mỗi năm, bao gồm các đồng biến khác nhau theo từng cá nhân và thời gian, là các năm giả và bằng một nếu một công nhân là nam và bằng không.

y_{i t} = X_{i t}^{'} β + δ {m a l e}_{i} + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} d_{t} + ε_{i t}

$y_{it} = X'_{it}\beta + \delta {\rm male}_i + \sum^{10}_{t=1}\gamma_t d_t + \varepsilon_{it}$

y

$y$

X_{i t}

$X_{it}$

d_{t}

$d_t$

{m a l e}_{i}

${\rm male}_i$

Bây giờ tôi có một mối quan tâm rằng một số hiệp phương sai có thể tương quan với các hiệu ứng cố định không quan sát được. Nhưng khi tôi sử dụng công cụ ước tính hiệu ứng cố định (bên trong) hoặc khác biệt đầu tiên, tôi sẽ mất hình nộm giới tính vì biến này không thay đổi theo thời gian. Tôi không muốn sử dụng công cụ ước tính hiệu ứng ngẫu nhiên bởi vì tôi thường nghe mọi người nói rằng nó đặt các giả định rất phi thực tế và không có khả năng giữ.

Có cách nào để giữ hình nộm giới tính và kiểm soát các hiệu ứng cố định cùng một lúc không? Nếu có một cách, tôi có cần phải phân cụm hoặc xử lý các vấn đề khác với các lỗi để kiểm tra giả thuyết về biến giới tính không?

— người dùng42263
nguồn

Câu trả lời:

Có một vài cách tiềm năng để bạn giữ hình nộm giới tính trong một hồi quy hiệu ứng cố định.

Trong Công cụ ước tính
Giả sử bạn có một mô hình tương tự so với mô hình OLS được gộp chung của bạn là

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ_{1} (m a l e_{i}) + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} (d_{t} \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma_1 (male_i) + \sum^{10}_{t=1} \gamma_t (d_t \cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$ trong đó các biến như trước. Bây giờ lưu ý rằng không thể xác định

β_{1}

$\beta_1$ và

β_{1} + γ_{1} (m a l e_{i})

$\beta_1 + \gamma_1 (male_i)$ vì công cụ ước tính bên trong không thể phân biệt chúng với hiệu ứng cố định

c_{i}

$c_i$ . Cho rằng

β_{1}

$\beta_1$ là phần chặn cho năm cơ sở

t = 1

$t=1$ ,

γ_{1}

$\gamma_1$ là hiệu ứng giới tính đối với thu nhập trong giai đoạn này. Những gì chúng ta có thể xác định trong trường hợp này là

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2, ..., \gamma_{10}$ bởi vì chúng được tương tác với các hình nộm thời gian của bạn và chúng đo lường sự khác biệt về tác động một phần của biến giới tính của bạn so với khoảng thời gian đầu tiên. Điều này có nghĩa là nếu bạn quan sát thấy sự gia tăng của

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2,...,\gamma_{10}$ thì đây là dấu hiệu cho thấy sự gia tăng khoảng cách thu nhập giữa nam và nữ.

Công cụ ước tính khác biệt đầu tiên
Nếu bạn muốn biết tác động tổng thể của sự khác biệt giữa nam và nữ theo thời gian, bạn có thể thử mô hình sau: trong đó biến được tương tác với giới tính bất biến theo thời gian hình nộm. Bây giờ nếu bạn lấy sự khác biệt đầu tiên và bỏ ra và bạn nhận được Sau đó

y_{Tôi t} = = β_{1} + Σ_{t = = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ (t \cdot m một tôi e_{Tôi}) + X_{Tôi t}^{'} θ + c_{Tôi} + ε_{Tôi t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma (t\cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

t = 1, 2, . . ., 10

$t = 1, 2,...,10$

β_{1}

$\beta_1$

c_{i}

$c_i$

y_{i t} - y_{i (t - 1)} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} (d_{t} - d_{(t - 1)}) + γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) + (X_{i t}^{'} - X_{i (t - 1)}^{'}) θ + ϵ_{i t} - ϵ_{i (t - 1)}

$y_{it} - y_{i(t-1)} = \sum^{10}_{t=3} \beta_t (d_t - d_{(t-1)}) + \gamma (t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) + (X'_{it}-X'_{i(t-1)})\theta + \epsilon_{it}-\epsilon_{i(t-1)}$

γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) = γ [(t - (t - 1)) \cdot m a l e_{i}] = γ (m a l e_{i})

$\gamma(t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) = \gamma[(t - (t-1))\cdot male_i] = \gamma (male_i)$ và bạn có thể xác định sự khác biệt giới tính trong thu nhập . Vì vậy, phương trình hồi quy cuối cùng sẽ là: và bạn nhận được hiệu quả của bạn. Điều tuyệt vời là điều này dễ dàng được thực hiện trong bất kỳ phần mềm thống kê nào nhưng bạn mất một khoảng thời gian.

γ

$\gamma$

Δ y_{i t} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} Δ d_{t} + γ (m a l e_{i}) + Δ X_{i t}^{'} θ + Δ ϵ_{i t}

$\Delta y_{it} = \sum_{t=3}^{10}\beta_t \Delta d_t + \gamma(male_i) + \Delta X'_{it}\theta + \Delta \epsilon_{it}$

Công cụ ước tính Hausman-Taylor Công cụ ước tính
này phân biệt giữa các biến hồi quy mà bạn có thể cho là không tương thích với hiệu ứng cố định và các hiệu ứng có khả năng tương quan với nó. Nó phân biệt rõ hơn giữa các biến số thời gian và biến đổi thời gian. Đặt biểu thị các biến không tương quan với và số đó và giả sử biến giới tính của bạn là biến bất biến duy nhất theo thời gian. Công cụ ước tính Hausman-Taylor sau đó áp dụng chuyển đổi hiệu ứng ngẫu nhiên: trong đó ký hiệu dấu ngã $c_i$ $1$ $c_i$ $2$

{\tilde{y}}_{i t} = {\tilde{X}}_{1 i t}^{'} + {\tilde{X}}_{2 i t}^{'} + γ ({\tilde{m a l e}}_{i 2}) + {\tilde{c}}_{i} + {\tilde{ϵ}}_{i t}

$\tilde{y}_{it} = \tilde{X}'_{1it} + \tilde{X}'_{2it} + \gamma (\widetilde{male}_{i2}) + \tilde{c}_i + \tilde{\epsilon}_{it}$

{\tilde{X}}_{1 i t} = X_{1 i t} - {\hat{θ}}_{i} {\bar{X}}_{1 i}

$\tilde{X}_{1it} = X_{1it} - \hat{\theta}_i \overline{X}_{1i}$ trong đó được sử dụng để chuyển đổi hiệu ứng ngẫu nhiên và là thời gian trung bình trên mỗi cá nhân. Đây không giống như công cụ ước tính hiệu ứng ngẫu nhiên thông thường mà bạn muốn tránh vì các biến nhóm được sử dụng để loại bỏ mối tương quan với . Đối với , công cụ là . Điều tương tự cũng được thực hiện cho các biến bất biến theo thời gian, vì vậy nếu bạn chỉ định biến giới tính có khả năng tương quan với hiệu ứng cố định thì nó sẽ được gắn với

{\hat{θ}}_{i}

$\hat{\theta}_i$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$

2

$2$

c_{i}

$c_i$

{\tilde{X}}_{2 i t}

$\tilde{X}_{2it}$

X_{2 i t} - {\bar{X}}_{2 i}

$X_{2it} - \overline{X}_{2i}$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$ , vì vậy bạn phải có nhiều biến đổi thời gian hơn các biến bất biến theo thời gian.

Tất cả điều này nghe có vẻ hơi phức tạp nhưng có những gói đóng hộp cho công cụ ước tính này. Ví dụ, trong Stata lệnh tương ứng là xthtaylor. Để biết thêm thông tin về phương pháp này, bạn có thể đọc Cameron và Trivingi (2009) "Microeconometrics bằng Stata". Nếu không, bạn có thể chỉ cần sử dụng hai phương pháp trước đó dễ dàng hơn một chút.

Suy luận
Đối với các bài kiểm tra giả thuyết của bạn, không có nhiều điều cần phải xem xét ngoài những gì bạn cần làm trong một hồi quy hiệu ứng cố định. Bạn cần quan tâm đến sự tự tương quan trong các lỗi, ví dụ bằng cách phân cụm trên biến ID riêng lẻ. Điều này cho phép một cấu trúc tương quan tùy ý giữa các cụm (cá nhân) liên quan đến tự tương quan. Để tham khảo, xem lại Cameron và Trivingi (2009).

— Andy
nguồn

Một cách tiềm năng khác để bạn giữ hình nộm giới tính là cách tiếp cận của Mundlak (1978) cho một mô hình hiệu ứng cố định với các biến số bất biến theo thời gian. Cách tiếp cận của Mundlak sẽ cho thấy hiệu ứng giới có thể được dự đoán theo phương tiện nhóm của các biến số thay đổi theo thời gian.

Mundlak, Y. 1978: Về việc tổng hợp chuỗi thời gian và dữ liệu mặt cắt ngang. Kinh tế lượng 46: 69-85.

— emeryville
nguồn

Một phương pháp khác là ước tính các hệ số bất biến theo thời gian trong phương trình giai đoạn thứ hai, sử dụng sai số trung bình làm biến phụ thuộc.

Đầu tiên, ước tính mô hình với FE. Từ đây bạn có được ước tính và . Để đơn giản, hãy quên đi các hiệu ứng năm. Xác định lỗi ước tính như trước: $\beta$ $\gamma_{t}$ $\hat{u}_{it}$

{\hat{u}}_{i t} \equiv y_{i t} - X_{i t} \hat{β}

$\hat{u}_{it} \equiv y_{it} - X_{it}\hat{\beta}$

Công cụ dự đoán tuyến tính là: $\bar{u}_{i}$

{\bar{u}}_{i} \equiv \frac{\sum_{t = 1}^{T} {\hat{u}}_{i}}{T} = \bar{y_{i t}} - {\bar{x}}_{i} \hat{β}

$\bar{u}_{i} \equiv \frac{\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_{i}}{T} = \bar{y_{it}} - \bar{x}_{i}\hat{\beta}$

Bây giờ, hãy xem xét phương trình giai đoạn thứ hai sau đây:

{\bar{u}}_{i} = δ m a l e_{i} + c_{i}

$\begin{equation} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i} \end{equation}$

Giả sử rằng giới tính không tương quan với các yếu tố không quan sát được . Sau đó, công cụ ước tính OLS của không thiên vị và nhất quán theo thời gian (điều này phù hợp khi ). $c_{i}$ $\delta$ $T \rightarrow \infty$

Để chứng minh điều trên, thay thế mô hình ban đầu vào công cụ ước tính : $\bar{u}_{i}$

{\bar{u}}_{i} = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} \hat{β} + δ m a l e_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T}

$\bar{u}_{i} = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}\hat{\beta} + \delta male_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}$

Kỳ vọng của công cụ ước tính này là:

E ({\bar{u}}_{i}) = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} E (\hat{β}) + δ m a l e_{i} + E (c_{i}) + \frac{\sum_{t = 1}^{T} E (ϵ_{i t})}{T}

$E(\bar{u}_{i}) = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}E(\hat{\beta}) + \delta male_{i} + E(c_{i}) + \frac{\sum_{t=1}^{T}E(\epsilon_{it})}{T}$

Nếu các giả định về tính nhất quán FE, là một công cụ ước tính không thiên vị của và . Như vậy: $\hat{\beta}$ $\beta$ $E(\epsilon_{it}) = 0$

E ({\bar{u}}_{i}) = δ m a l e_{i} + E (c_{i})

$E(\bar{u}_{i}) = \delta male_{i} + E(c_{i})$

Đây là, công cụ dự đoán của chúng tôi là một công cụ ước tính không thiên vị của các thành phần bất biến theo thời gian của mô hình.

Về tính nhất quán, giới hạn xác suất của yếu tố dự đoán này là:

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{i} = p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} β) - p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} \hat{β}) + p lim_{T \to \infty} δ m a l e_{i} + p lim_{T \to \infty} c_{i} + p lim_{T \to \infty} (\frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T})

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \bar{x}_{i}\beta\right) - p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left(\bar{x}_{i}\hat{\beta}\right) + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \delta male_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} c_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}\right)$

Một lần nữa, với các giả định FE, là một công cụ ước tính nhất quán của và thuật ngữ lỗi hội tụ với giá trị trung bình của nó, bằng không. Vì thế: $\hat{\beta}$ $\beta$

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{i} = δ m a l e_{i} + c_{i}

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i}$

Một lần nữa, công cụ dự đoán của chúng tôi là một công cụ ước tính nhất quán của các thành phần bất biến theo thời gian của mô hình.

— luchonacho
nguồn

Thiết bị buồng trứng Mundlak là một công cụ hoàn hảo cho việc này. Nó thường được gọi là mô hình hiệu ứng ngẫu nhiên tương quan bởi vì nó sử dụng mô hình hiệu ứng ngẫu nhiên để ước tính ngầm định các hiệu ứng cố định cho các biến số thời gian đồng thời ước tính các hiệu ứng ngẫu nhiên cho các biến bất biến thời gian.

Tuy nhiên, trong các phần mềm thống kê, bạn triển khai nó như là mô hình hiệu ứng ngẫu nhiên nhưng bạn phải thêm phương tiện của tất cả các biến số biến đổi theo thời gian.

— Martin Paul
nguồn