Một phân phối đa biến với ma trận hiệp phương sai số có thể có hàm mật độ không?

Giả sử một phân phối đa biến trên có ma trận hiệp phương sai số ít. Chúng ta có thể kết luận rằng nó không có chức năng mật độ?$\mathbb R^n$

Ví dụ, đó là trường hợp của phân phối bình thường nhiều biến số, nhưng tôi không chắc liệu nó có đúng với tất cả các phân phối đa biến khác hay không.

Tôi nghĩ, đây là một câu hỏi về sự tồn tại của đạo hàm Radon-Nikodym, đo lường Lebesgue trên , nhưng lý thuyết xác suất cơ bản cũng có thể có câu trả lời.$\mathbb R^n$

$Y = \sum_{i=1}^n a_i X_i$$n$$E[Y] = a_0$$\operatorname{var}(Y) = 0$$\mathbb R^n$$\sum_{i=1}^n a_i x_i = a_0$$n$$n$

Có, nhưng nó sẽ là phân phối xác suất trên không gian con chiều thấp hơn. Bạn có thể lập luận rằng đó là phân phối xác suất trong R ^ N nếu bạn cho phép những thứ như hàm delta dirac. Đó là một vấn đề toán học tinh tế, nhưng các nhà vật lý, chẳng hạn, làm điều đó mọi lúc.

$\mathbb{R}^{n}$$\Sigma$$\Sigma$