Homoskedasticity có điều kiện vs heteroskedasticity

Từ Kinh tế lượng , bởi Fumio Hayashi (Chpt 1):

Homoskedasticity vô điều kiện:

• Khoảnh khắc thứ hai của các điều khoản lỗi E (εᵢ²) không đổi trong các lần quan sát
• Dạng chức năng E (εᵢ² | xi) không đổi trong các quan sát

Homoskedasticity có điều kiện:

• Hạn chế rằng khoảnh khắc thứ hai của các điều khoản lỗi E (εᵢ²) không đổi trên các quan sát được dỡ bỏ
  • Do đó, khoảnh khắc thứ hai có điều kiện E (εᵢ² | xi) có thể khác nhau giữa các quan sát thông qua sự phụ thuộc có thể vào xᵢ.

Vì vậy, sau đó, câu hỏi của tôi:

Homoskedasticity có điều kiện khác với Heteroskedasticity như thế nào?

Sự hiểu biết của tôi là có sự không đồng nhất khi khoảnh khắc thứ hai khác nhau giữa các quan sát (x).

Tôi sẽ bắt đầu bằng cách trích dẫn từ Hayashi để giúp bất kỳ ai khác muốn bình luận. Tôi đã cố gắng để bảo tồn định dạng và số phương trình ban đầu.

Bắt đầu trích dẫn từ Hayashi trang 126, phần 2.6:

Homoskedasticity có điều kiện so với vô điều kiện

Giả định homoskedasticity có điều kiện là:

Assumption 2.7 (có điều kiện homoskedasticity): Giả định này hàm ý rằng các điều kiện thứ hai thời điểm E ( ε 2 i ) bằng σ 2 của Luật của Tổng vọng. Để rõ ràng về sự khác biệt giữa tính đồng nhất vô điều kiện và có điều kiện, hãy xem xét ví dụ sau [Ví dụ 2.6 (lỗi homoskedastic vô điều kiện nhưng không đồng nhất có điều kiện) ...]

$$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$$ $E(\epsilon_i^2)$$\sigma^2$

Trích dẫn cuối.

Một số phương trình có liên quan từ trang Hayashi 11-14 (mục 1.1):

$$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$$

Tiểu mục "Mô hình hồi quy cổ điển cho các mẫu ngẫu nhiên" trên trang 12 thảo luận về ý nghĩa của một mẫu được iid. Trích dẫn từ trang Hayashi 12-13: "Ý nghĩa của các khía cạnh phân phối giống hệt nhau của một mẫu ngẫu nhiên là sự phân bố chung của không phụ thuộc vào tôi Vì vậy, các. Un có điều kiện thứ hai thời điểm E ( ε 2 i ) là hằng số trên i (điều này được gọi là homoskedasticity vô điều kiện ) và các hình thức chức năng của điều kiện thứ hai thời điểm E ( ε 2 $(\epsilon_i,\mathbf x_i)$$i$$E(\epsilon_i^2)$$i$ giống nhau trên i . Tuy nhiên Giả định 1.4 --- rằnggiá trịcủa khoảnh khắc thứ hai có điều kiện là giống nhau trên i --- không tuân theo. Do đó, Giả định 1.4 vẫn còn hạn chế đối với trường hợp mẫu ngẫu nhiên; không có nó, các điều kiện thứ hai thời điểm E ( ε 2 i | x i ) có thể khác nhau giữa các i qua sự phụ thuộc khả năng của nó đối với x i . Để nhấn mạnh sự khác biệt, các hạn chế đối với các khoảnh khắc thứ hai có điều kiện, (1.1.12) và (1.1.17), được gọi là tính đồng nhất cóđiều kiện. "$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$\mathbf x_i$

[Không có trích dẫn nào từ Hayashi, chỉ là sự hiểu biết của tôi sau thời điểm này.]

$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

$\mathbf x_i$$\epsilon_i$$\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$; Các ví dụ 2.6 (trang 127) minh họa điều này. Nó cũng có thể trả lời câu hỏi về sự chồng chéo giữa tính đồng nhất và tính không đồng nhất: nó đưa ra một ví dụ trong đó có tính đồng nhất vô điều kiện cũng như tính không đồng nhất có điều kiện.

Đây là những khái niệm khó hiểu, đặc biệt là không có nhiều kinh nghiệm với các kỳ vọng / phân phối có điều kiện, nhưng hy vọng điều này sẽ thêm một số sự rõ ràng (và tài liệu nguồn cho bất kỳ cuộc thảo luận nào trong tương lai).