Một gia đình theo cấp số nhân tăng theo cấp số nhân

Câu hỏi

Một chút gì đó mà tôi đã tự hỏi về một thời gian:

Đặt $P_\theta$ là họ hàm mũ tăng một cách ngẫu nhiên (một tham số) trên không gian mẫu $\mathcal{X}$ với $\Theta\subset\mathbb{R}$ là không gian tham số tự nhiên của nó, tức là $\Theta$ là tập hợp các giá trị cdf $F_\theta$ xác định thước đo xác suất. Có phải luôn luôn đúng không, đó là

$$F_\theta(x)\nearrow 1\qquad\mbox{as}\qquad\theta\searrow \inf\Theta,$$ và $$F_\theta(x)\searrow 0\qquad\mbox{as}\qquad\theta\nearrow \sup\Theta$$ cho tất cả $x\in\mathcal{X}$ không nằm trong ranh giới của $\mathcal{X}$ ?

---

Định nghĩa, một ví dụ, đầu cơ

Một phân phối $P_\theta$ trên $\mathcal{X}$ tham số hóa bởi $\theta\in\Theta$ đang tăng một cách ngẫu nhiên nếu, đối với $x\in\mathcal{X}$ , thì $F_\theta(x)$ đang giảm trong $\theta$ , trong đó $F_\theta(x)=\mbox{P}_\theta(X\leq x)$ .

Một ví dụ là phân phối nhị thức, trong đó $\mathcal{X}=\{0,1,2,\ldots,n\}$ và không gian tham số tự nhiên là $\Theta=(0,1)$ .

$$F_\theta(x)=\sum_{k\leq x}{\binom{n}{k}}\theta^k(1-\theta)^{n-k}$$ đang giảm trong $\theta$ . Thí dụ:

Trong cài đặt này, chúng ta có và với mọi không nằm trên ranh giới của . Tại ranh giới, tức là khi , chỉ có một trong các giới hạn đạt được.

$$F_\theta(x)\nearrow 1\qquad\mbox{as}\qquad\theta\searrow \inf\Theta=0,$$ $$F_\theta(x)\searrow 0\qquad\mbox{as}\qquad\theta\nearrow \sup\Theta=1$$ $x$$\mathcal{X}$$x\in \{0,n\}$

Lưu ý rằng nếu chúng tôi giới hạn không gian tham số là một tập hợp con chính xác của , chẳng hạn như , thì điều này không còn đúng nữa: là .$(0,1)$$(0.2,0.8)$$F_\theta(5)\nearrow F_{0.2}(5)=0.174\ldots<1$$\theta\searrow \inf\Theta=0.2$

Tài sản này dường như giữ cho tất cả các gia đình theo cấp số nhân thường được sử dụng, vì vậy tôi đoán là nếu một ví dụ tồn tại thì nó phải có phần bệnh hoạn. Nó có thể liên quan đến các hàm khiến nổ tung vì một số hữu hạn , làm cho nó không thể tách rời. Trong một số ý nghĩa, điều này sẽ làm cho không gian tham số "bị hạn chế".$\exp(<\theta,T(x)>)$$(\theta,x)$

Một ví dụ "tầm thường" có lẽ là phân phối Bernoulli (p), vì không gian mẫu của nó bằng ranh giới của chính nó, do đó chỉ có thể đạt được một trong các giới hạn cho mỗi điểm trong không gian mẫu. Nhưng đó là một chút nhàm chán, và tôi muốn có nhiều ví dụ trong đó ít nhất một điểm của không gian mẫu không nằm trong ranh giới.

Nếu sự không liên tục trong mật độ được cho phép, có thể xây dựng một phân phối lặp lại trong hai khoảng thời gian liên tiếp, giới hạn CDF ở khoảng đầu tiên đến và ở khoảng thứ hai thành . Ví dụ: let Bây giờ, đối với mật độ tỷ lệ với , CDF là $[0,0.5]$$[0.5,1]$

$$\begin{equation} h(x) = 1, x\in [0,4] \end{equation}$$ $$\begin{equation} T(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \quad x \in [0,1) \cup[2,3) \\ 2 & \quad x \in [1,2) \cup [3,4] \end{array} \right. \end{equation}$$ $h(x)e^{\theta T(x)}$ $$\begin{equation} F_\theta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}\,\frac{x}{1+e^\theta} & \quad x \in [0,1) \\ \frac{1}{2}\, \frac{1 + (x-1)e^\theta}{1+e^\theta} & \quad x \in [1,2) \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,\frac{x-2}{1+e^\theta} & \quad x \in [2,3) \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\, \frac{1 + (x-3)e^\theta}{1+e^\theta} & \quad x \in [3,4) \\ \end{array} \right. \end{equation}$$ đang giảm như một hàm của cho bất kỳ nào trong không gian mẫu, nhưng, ví dụ: $\theta$$x$ $$\begin{equation} \lim_{\theta \rightarrow \infty} F_\theta(2.1) = \frac{1}{2}. \end{equation}$$

Dựa trên các nhận xét, chúng tôi không bị hạn chế xem xét tham số tự nhiên nhưng được phép sử dụng biểu mẫu chung Trong trường hợp này, có thể 'gian lận' bằng cách xây dựng để một số giá trị trong không gian tự nhiên của không đạt được với bất kỳ . Ví dụ: hãy để Đây là a (tham số kỳ lạ) phân phối theo cấp số nhân với CDF đang giảm chức năng cho như mong muốn. Tuy nhiên,

$$\begin{equation} f_\theta(x) \propto h(x) e^{T(x)\eta(\theta)} \end{equation}$$ $\eta$$\eta$$\theta$ $$\begin{equation} f_\theta(x) \propto e^{-x\,\frac{1}{1+e^\theta}},~x\geq0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} F_\theta(x) = 1 - e^{-x / ({1+e^\theta})}, \end{equation}$$ $\theta$ $$\begin{equation} \lim_{\theta\rightarrow -\infty} F_\theta(x) = 1-e^{-x} < 1. \end{equation}$$ Trường hợp có tham số tự nhiên vẫn mở (ít nhất là với tôi).$(\eta(\theta) = \theta)$