"Rất phi tuyến tính" nghĩa là gì?

Tôi thường đọc về một chức năng 'rất phi tuyến tính'. Theo hiểu biết của tôi, có "tuyến tính" và "phi tuyến tính", vậy điều này 'rất cao' là gì? Có một sự khác biệt chính thức từ phi tuyến tính? Nó được định nghĩa như thế nào?

Tôi không nghĩ có một định nghĩa chính thức. Tôi ấn tượng rằng nó đơn giản có nghĩa là nó không chỉ phi tuyến tính, mà cố gắng mô hình hóa nó bằng một xấp xỉ tuyến tính sẽ không mang lại kết quả hợp lý và thậm chí có thể gây ra sự không ổn định trong phương pháp phù hợp. Ai đó cũng có thể sử dụng nó để chỉ đơn giản là những thay đổi đầu vào nhỏ có thể dẫn đến những thay đổi lớn về mặt trực quan.

Trong một ý nghĩa chính thức, tôi tin rằng người ta có thể nói rằng đạo hàm thứ hai khác biệt đáng kể so với số không. Nếu 0 là một xấp xỉ "hợp lý" với đạo hàm thứ hai trên miền quan tâm, thì nó gần với tuyến tính, nhưng nếu không, các hiệu ứng phi tuyến trở nên rất quan trọng để nắm bắt.

Tôi hiếm khi nghe các thuật ngữ như thế này áp dụng cho các đa thức tương đối đơn giản, thường được sử dụng trong thực tế, nó dường như áp dụng cho các hệ động lực phân kỳ (các loại lý thuyết hỗn loạn), hoặc các hàm rất không trơn tru (trong đó các dẫn xuất bậc cao hơn không phải là khác ).

Các khía cạnh quan trọng bị thiếu trong các câu trả lời xuất sắc khác là tên miền . Ví dụ: là$f(x)=x^2$

• phi tuyến tính cao trên nhưng$[-10;10]$
• không phải ở một nửa của miền (nghĩa là trên cả và người ta có thể sử dụng xấp xỉ tuyến tính của mà không gặp thảm họa ngay lập tức).$[-10;0]$$[0;10]$$f$

Một ví dụ khác là , đó là$f(x)=x^3-x$

• phi tuyến tính cao trên nhưng$[-1;1]$
• không phải trên miền lớn hơn$[-10;;10]$

Như đã đề cập khác, tôi không nghĩ có một định nghĩa chính thức. Tôi sẽ định nghĩa nó là một hàm không thể tính gần đúng tuyến tính trong phạm vi nhiễu điển hình cho đối số. Chẳng hạn, bạn có và . Sau đó, nếu xấp xỉ bị phá vỡ, thì đó là phi tuyến tính cao. Chẳng hạn, sẽ không tuyến tính cao đối với mọi quanh 0, vì chuỗi Taylor của nó là .$y=f(x)$$\sigma^2=var[x]$$f(x+\sigma)\approx f(x)+f'(x)\sigma$$f(x)=exp(x^2)$$x$$1+x^2+x^4/2+O(x^5)$

Không chính thức ... "rất phi tuyến tính" có nghĩa là "ngay cả một người mù cũng có thể thấy nó không phải là một đường thẳng!" ;) Cá nhân tôi coi đó là một dấu hiệu nguy hiểm, bằng cách nào đó nó sẽ "nổ tung vào mặt bạn" khi được sử dụng với các ví dụ trong thế giới thực.

Tháp Hà Nội có thể được gọi là một ví dụ về tính phi tuyến tính cao ... truyền thuyết là khi các nhà sư hoàn thành một ngăn xếp 64 đĩa, thế giới sẽ kết thúc. Nếu bạn tính tổng thời gian dành cho đào tạo, cho ăn, nhà ở và thúc đẩy mọi người ủng hộ một nhiệm vụ đa thế hệ vô nghĩa nhàm chán, tôi sẽ hy vọng tổng chi phí tính theo giờ của con người sẽ thực sự bùng nổ!

Là nhà toán học chuyên nghiệp, tôi có thể xác nhận rằng "rất phi tuyến" không phải là một thuật ngữ được xác định chính xác về mặt toán học. :)

Và không ai trong số "rất cao" tôi có thể nghĩ ra.

Phi tuyến là chính xác và ngược lại với tuyến tính (rõ ràng).

Nhưng tuyến tính xảy ra theo hai nghĩa khác nhau:

• $f(x) = ax+b$ được gọi là hàm tuyến tính
• chỉ hàm (không có số hạng không đổi ) được gọi là tuyến tính$f(x) = ax$$b$

Để nhấn mạnh sự khác biệt và sự hiện diện của thuật ngữ không đổi, hàm đầu tiên cũng được gọi là affine$(ax + b)$