Có thể tích hợp phân tích nhân với hàm mật độ xác suất logic bất thường không?

Thứ nhất, bằng cách tích hợp phân tích, ý tôi là, có một quy tắc tích hợp nào để giải quyết điều này trái ngược với các phân tích số (như quy tắc hình thang, quy tắc Gauss-Legendre hoặc Simpson) không?

Tôi có một hàm $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$ trong đó

g (x; μ, σ) = \frac{1}{σ x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}}

$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$ là hàm mật độ xác suất của phân phối lognatural với tham số

μ

$\mu$ và

σ

$\sigma$ . Dưới đây, tôi sẽ viết tắt ký hiệu thành

g (x)

$g(x)$ và sử dụng

G (x)

$G(x)$ cho hàm phân phối tích lũy.

Tôi cần tính tích phân

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$

Hiện tại, tôi đang thực hiện việc này với tích hợp số bằng phương pháp Gauss-Legendre. Bởi vì tôi cần chạy cái này nhiều lần, hiệu suất rất quan trọng. Trước khi tôi xem xét tối ưu hóa các phân tích số / các phần khác, tôi muốn biết liệu có bất kỳ quy tắc tích hợp nào để giải quyết điều này không.

Tôi đã thử áp dụng quy tắc tích hợp theo từng bộ phận và tôi đã hiểu được điều này, nơi tôi lại bị mắc kẹt,

$\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$ .
$u=x \implies \rd u = \rd x$
$\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$
$u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

Tôi bị kẹt, vì tôi không thể đánh giá $\int G(x) \rd x$ .

Đây là gói phần mềm tôi đang xây dựng.

distributions lognormal

— Rosh
nguồn

@Rosh, bởi bạn mật độ xác suất trung bình của phân phối lognormal?

l o g n o r m a l

$lognormal$

— mpiktas

Điều này có thể biểu thị bằng một hằng số lần chênh lệch của hai cdf bình thường. Các cdf thông thường được tính toán một cách hiệu quả bằng cách sử dụng xấp xỉ hợp lý Ch Quashev của W. Cody. Bạn không nên cần và, gần như chắc chắn không nên thích , các lựa chọn thay thế tích hợp số cho việc này. Nếu bạn cần thêm chi tiết, tôi có thể đăng chúng.

— hồng y

@mpiktas, Có, lognatural là hàm mật độ xác suất và logn normalCDF là hàm mật độ tích lũy.

— Rosh

@Rosh có phân phối lognatural có nghĩa là thường được phân phối. Do đó, thay thế trong tích phân ban đầu của bạn . Tích phân là một hàm mũ có đối số là hàm bậc hai của . Hoàn thành hình vuông biến nó thành bội số của một tệp PDF thông thường, vì vậy câu trả lời của bạn được viết theo CDF bình thường và số mũ của các điểm cuối ban đầu. Có nhiều xấp xỉ tốt với CDF bình thường (bội số của hàm lỗi).

x

$x$

\log (x)

$\log(x)$

x = \exp (y)

$x = \exp(y)$

y

$y$

— whuber

Vâng, @whuber và tôi đã mô tả điều tương tự. Bạn sẽ nhận được một cái gì đó như trong đó và và biểu thị cdf bình thường. Lưu ý rằng, tùy thuộc vào các giá trị của , , và , có nhiều cách để viết lại biểu thức này để ổn định hơn về mặt số.

e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α))

$e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} (\Phi(\beta) - \Phi(\alpha))$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu+\sigma^2))/\sigma$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

a

$a$

b

$b$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— Đức Hồng Y

Câu trả lời ngắn : Không, không thể, ít nhất là về các chức năng cơ bản. Tuy nhiên, các thuật toán số rất tốt (và khá nhanh!) Tồn tại để tính toán một đại lượng như vậy và chúng nên được ưu tiên hơn bất kỳ kỹ thuật tích hợp số nào trong trường hợp này.

Số lượng quan tâm về cdf bình thường

Số lượng bạn quan tâm thực sự có liên quan chặt chẽ với giá trị trung bình có điều kiện của một biến ngẫu nhiên logic. Đó là, nếu được phân phối dưới dạng logic với các tham số và , thì bằng cách sử dụng ký hiệu của bạn, $X$ $\mu$ $\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}} d x = P (a \leq X \leq b) E (X ∣ a \leq X \leq b) .

$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$

Để có được một biểu thức cho tích phân này, hãy thay thế . Điều này lúc đầu có thể xuất hiện một chút không có động lực. Nhưng, lưu ý rằng bằng cách sử dụng thay thế này, và bằng cách thay đổi các biến đơn giản, chúng tôi nhận được trong đó và . $z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ $x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{α}^{β} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} z^{2}} d z,

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

Do đó, trong đó là tiêu chuẩn chức năng phân phối tích lũy bình thường.

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α)),

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

Xấp xỉ số

Người ta thường nói rằng không tồn tại biểu thức dạng đóng cho . Tuy nhiên, một định lý của Liouville từ đầu những năm 1800 khẳng định một điều mạnh mẽ hơn: Không có biểu thức dạng đóng cho hàm này . (Để biết bằng chứng trong trường hợp cụ thể này, hãy xem bài viết của Brian Conrad .) $\Phi(x)$

Do đó, chúng ta còn lại để sử dụng một thuật toán số để tính gần đúng số lượng mong muốn. Điều này có thể được thực hiện trong phạm vi dấu phẩy động chính xác kép của IEEE thông qua thuật toán của WJ Cody. Đó là các thuật toán tiêu chuẩn cho vấn đề này, và sử dụng biểu thức hợp lý của một trật tự khá thấp, nó khá hiệu quả, quá.

Đây là một tài liệu tham khảo thảo luận về xấp xỉ:

WJ Cody, các xấp xỉ Rational Ch Quashev cho hàm lỗi , Math. Comp. , 1969, trang 631--637.

Nó cũng là cách triển khai được sử dụng trong cả MATLAB và , trong số những thứ khác, trong trường hợp những thứ đó làm cho việc lấy mã ví dụ dễ dàng hơn. $R$

Đây là một câu hỏi liên quan, trong trường hợp bạn quan tâm.

— hồng y
nguồn