Bạn quan sát k đầu ra khỏi n quăng. Là đồng tiền công bằng?

Tôi đã được hỏi câu hỏi này với $(n, k) = (400, 220)$ trong một cuộc phỏng vấn. Có câu trả lời "đúng" không?

Giả sử các quăng là iid và xác suất của các đầu là $p=0.5$ . Sự phân bố số lượng đầu trong 400 lần ném nên gần với Bình thường (200, 10 ^ 2), sao cho 220 đầu là 2 độ lệch chuẩn so với giá trị trung bình. Xác suất quan sát kết quả như vậy (nghĩa là có nhiều hơn 2 SD so với giá trị trung bình theo một trong hai hướng) là ít hơn 5%.

Người phỏng vấn nói với tôi, về cơ bản, "nếu tôi quan sát thứ gì đó> = 2 SD từ giá trị trung bình, tôi kết luận rằng có một cái gì đó khác đang diễn ra. Tôi sẽ đặt cược chống lại đồng xu là công bằng." Điều đó hợp lý - xét cho cùng, đó là điều mà hầu hết các bài kiểm tra giả thuyết làm. Nhưng đó có phải là kết thúc của câu chuyện? Đối với người phỏng vấn dường như là câu trả lời "đúng". Điều tôi đang hỏi ở đây là liệu một số sắc thái có hợp lý không.

Tôi không thể không chỉ ra rằng việc quyết định rằng đồng tiền không công bằng là một kết luận kỳ lạ trong bối cảnh tung đồng xu này. Tôi có đúng không khi nói điều đó? Tôi sẽ thử và giải thích bên dưới.

Trước hết, tôi - và tôi cũng sẽ cho rằng hầu hết mọi người - có một ưu tiên mạnh mẽ về tiền xu: họ rất có thể công bằng. Tất nhiên, điều đó phụ thuộc vào ý nghĩa của chúng ta về sự công bằng - một khả năng sẽ là định nghĩa "công bằng" là "có xác suất đứng đầu" gần 0,5, trong khoảng từ 0,49 đến 0,51 ".

(Bạn cũng có thể định nghĩa 'công bằng' có nghĩa là xác suất của những người đứng đầu chính xác là 0,5, trong trường hợp đó có một đồng tiền hoàn toàn công bằng bây giờ dường như không có khả năng.)

Sự ưu tiên của bạn có thể không chỉ phụ thuộc vào niềm tin chung của bạn về tiền mà còn phụ thuộc vào bối cảnh. Nếu bạn rút đồng xu ra khỏi túi của mình, bạn có thể gần như chắc chắn rằng nó công bằng; nếu người bạn ảo thuật gia của bạn rút nó ra khỏi anh ta, thì trước đó bạn có thể đặt nặng hơn vào những đồng xu hai đầu.

Trong mọi trường hợp, thật dễ dàng để đưa ra các linh mục hợp lý rằng (i) đặt một xác suất lớn cho đồng tiền là công bằng và (ii) dẫn đến hậu thế của bạn khá giống nhau, ngay cả sau khi quan sát 220 đầu. Sau đó, bạn sẽ kết luận rằng đồng xu rất có thể là công bằng, mặc dù quan sát kết quả 2 SD từ giá trị trung bình.

Trong thực tế, bạn cũng có thể xây dựng ví dụ nơi quan sát 220 người đứng đầu trong 400 tung làm sau bạn đặt nhiều trọng lượng trên đồng xu phúc công bằng, ví dụ nếu tất cả tiền xu không công bằng có một xác suất của người đứng đầu trong .$\{0, 1\}$

Ai đó có thể làm sáng tỏ vấn đề này giúp tôi không?

Sau khi viết câu hỏi này, tôi nhớ rằng tôi đã nghe về tình huống chung này trước đây - không phải đó là "nghịch lý" của Lindley sao?

Whuber đặt một liên kết rất thú vị trong các bình luận: Bạn có thể tải một cái chết, nhưng bạn không thể thiên vị một đồng xu . Từ trang 3:

Sẽ không có nghĩa gì khi nói rằng đồng xu có xác suất p đầu, bởi vì nó có thể được xác định hoàn toàn bằng cách ném nó trừ khi nó được tung lên cao trong không khí với một vòng quay nhanh và bị cuốn vào không trung không nảy, trong trường hợp p = 1/2.

Tuyệt đấy! Điều này liên quan đến câu hỏi của tôi theo một cách thú vị: giả sử chúng ta biết rằng đồng xu đang "tung lên cao trong không trung với một vòng quay nhanh và bị cuốn vào không trung mà không bị nảy". Sau đó, chúng tôi chắc chắn không nên bác bỏ giả thuyết rằng đồng tiền là công bằng (trong đó "công bằng" bây giờ có nghĩa là "có p = 1/2 khi được ném theo cách được mô tả ở trên"), bởi vì chúng tôi thực sự có trước xác suất đặt tất cả vào xác suất đồng xu là công bằng. Có lẽ điều đó biện minh ở một mức độ nào đó tại sao tôi không thoải mái từ chối null sau khi quan sát 220 đầu.

Cách Bayes tiêu chuẩn để giải quyết vấn đề này (không có xấp xỉ Bình thường) là nói rõ ràng trước, kết hợp nó với khả năng của bạn, được phân phối Beta. Sau đó, tích hợp hậu thế của bạn khoảng 50%, nói hai độ lệch chuẩn hoặc từ 49% C 5151% hoặc bất cứ điều gì bạn thích.

Nếu niềm tin trước của bạn liên tục vào [0,1] - ví dụ Beta (100.100) (điều này đặt rất nhiều khối lượng vào các đồng tiền gần như công bằng) - thì khả năng đồng tiền đó là bằng 0 vì khả năng cũng liên tục [0 , 1].

Ngay cả khi xác suất mà đồng tiền là bằng 0, bạn thường có thể trả lời bất kỳ câu hỏi nào bạn sẽ trả lời với người đăng sau về sự thiên vị. Ví dụ, cạnh sòng bạc được phân phối sau là bao nhiêu so với xác suất tiền xu.

Hãy nói về Phân phối Bernoulli, trong trường hợp này là việc tung đồng xu.

Rõ ràng đây là phân phối nhị thức $B(n=400,p=0.5)$$N(\mu=200,\sigma^2=100)$

$k$$95\%$$B(n=400,p=0.5)$$p$$B(n=400,p=0.5,k=220)$

$p=0.5$$\pi(p=0.5)=0.5$$\pi(p\neq0.5)=0.5$

$\pi(0.49\leq p\leq0.51)=0.9$$\pi(p<0.49 \cup p>0.51)=0.1$$p$

$P(0.49\leq p\leq0.51|k=220)$

$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2=0.25)$$\sigma^2=0.1$

$p$$f(p|k=220)$

Danh tiếng của tôi không đủ để tôi viết bình luận dưới Câu hỏi. Thay vào đó tôi sẽ viết một cái gì đó ở đây liên quan đến Bạn không thể thiên vị một đồng xu . @Adrian

Đây là những gì chúng ta có

1. Kết quả thí nghiệm $B(n=400,k=220,p=\theta)$
2. Nghiên cứu lý thuyết và thử nghiệm Bạn không thể thiên vị một đồng xu

Đây là giả thuyết của chúng tôi

$H_0:$$\hat\theta=0.5$

$H_1$

Đây là kết quả của chúng tôi

1. $H_0$
2. $H_1$

$p$$H_0$$H_1$

Nếu không, chúng tôi tạo ra tiêu chuẩn kép để kiểm tra giả thuyết ở đây. Chúng tôi không thể chấp nhận Giả thuyết rằng việc tung đồng xu là công bằng và dữ liệu thử nghiệm được ghi lại chính xác .

Không có nghĩa gì khi nói rằng đồng xu có xác suất p đứng đầu

Chúng tôi có kết quả thí nghiệm để sao lưu giả thuyết này.

$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2)$

$\sigma^s$