Làm thế nào để làm trắng dữ liệu bằng cách sử dụng phân tích thành phần chính?

Tôi muốn chuyển đổi dữ liệu của mình sao cho phương sai sẽ là một và hiệp phương sai sẽ bằng 0 (tức là tôi muốn làm trắng dữ liệu). Hơn nữa, phương tiện nên bằng không.$\mathbf X$

Tôi biết tôi sẽ đến đó bằng cách thực hiện chuẩn hóa Z và chuyển đổi PCA, nhưng tôi nên làm theo thứ tự nào?

Tôi nên thêm rằng phép biến đổi làm trắng tổng hợp phải có dạng .$\mathbf{x} \mapsto W\mathbf{x} + \mathbf{b}$

Có một phương pháp tương tự như PCA thực hiện chính xác cả hai phép biến đổi này và cho tôi một công thức có dạng ở trên không?

Đầu tiên, bạn nhận được giá trị trung bình bằng cách trừ trung bình .$\boldsymbol \mu = \frac{1}{N}\sum \mathbf{x}$

Thứ hai, bạn có được hiệp phương sai bằng cách thực hiện PCA. Nếu là ma trận hiệp phương sai của dữ liệu của bạn, sau đó PCA số tiền để thực hiện một eigendecomposition , nơi là một ma trận xoay trực giao bao gồm các hàm riêng của và là một ma trận đường chéo có giá trị riêng trên đường chéo. Ma trận cung cấp một vòng quay cần thiết để khử tương quan dữ liệu (nghĩa là ánh xạ các tính năng ban đầu đến các thành phần chính).$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Sigma = \mathbf{U} \boldsymbol \Lambda \mathbf{U}^\top$$\mathbf{U}$$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Lambda$$\mathbf{U}^\top$

Thứ ba, sau khi xoay, mỗi thành phần sẽ có phương sai được đưa ra bởi một giá trị riêng tương ứng. Vì vậy, để làm cho phương sai bằng , bạn cần chia cho căn bậc hai của .$1$$\boldsymbol \Lambda$

Tất cả cùng nhau, phép biến đổi làm trắng là . Bạn có thể mở ngoặc để lấy biểu mẫu bạn đang tìm kiếm.$\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol \Lambda^{-1/2} \mathbf{U}^\top (\mathbf{x} - \boldsymbol \mu)$

Cập nhật. Xem thêm chủ đề sau này để biết thêm chi tiết: Sự khác biệt giữa làm trắng ZCA và làm trắng PCA là gì?