Phân phối các giá trị cực trị

Nếu một mặt hàng theo phân phối bình thường, trung bình cũng theo phân phối bình thường. Còn tối thiểu và tối đa thì sao?

Bạn nên có một cái nhìn vào số liệu thống kê đơn hàng . Dưới đây là một tổng quan rất ngắn gọn.

Hãy để là một mẫu iid kích thước n rút ra từ một dân số với chức năng phân phối F và mật độ xác suất chức năng f . Xác định Y 1 = X ( 1 ) , ... , Y r = X ( r ) , ... , Y n = X ( n ) , nơi X ( r ) biểu thị r thứ tự thống kê của mẫu$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$ , tức là, nó r thứ giá trị nhỏ nhất.$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

Nó có thể được chỉ ra rằng xác suất chung hàm mật độ của là$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

nếu y 1 < y 2 < ... < y n và 0 ngược lại.$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

Bằng cách tích hợp các phương trình trước, chúng ta có được

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

Đặc biệt, tối thiểu và tối đa, chúng tôi có

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

Bạn cũng có thể muốn đọc lên bản phân phối giá trị cực trị (GEV) . Nó chỉ ra rằng khi thì (chuyển và quy mô) phân chia giá trị tối đa của hội tụ mẫu để một trong ba trường hợp đặc biệt của phân phối GEV.$n\rightarrow\infty$

Tổng của Gaussian là Gaussian. Đó là lý do tại sao trung bình là bình thường. Sự phân phối của bất kỳ hàm phi tuyến tính nào của (rất nhiều) Gaussian không cần phải là Gaussian và thường thì không. Đó là trường hợp của hàm tối đa. Để tính gần đúng mức tối đa của một Gaussian đa biến, Hothorn là một nơi tốt để bắt đầu.