Cách diễn giải các tham số trong GLM với gia đình = Gamma

Tôi có một câu hỏi liên quan đến việc giải thích tham số cho GLM với biến phụ thuộc phân phối gamma. Đây là những gì R trả về cho GLM của tôi với một liên kết nhật ký:

Call:
glm(formula = income ~ height + age + educat + married + sex + language + highschool, 
    family = Gamma(link = log), data = fakesoep)

Deviance Residuals: 
       Min        1Q    Median        3Q       Max  
  -1.47399  -0.31490  -0.05961   0.18374   1.94176  

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  6.2202325  0.2182771  28.497  < 2e-16 ***
height       0.0082530  0.0011930   6.918 5.58e-12 ***
age          0.0001786  0.0009345   0.191    0.848    
educat       0.0119425  0.0009816  12.166  < 2e-16 ***
married     -0.0178813  0.0173453  -1.031    0.303    
sex         -0.3179608  0.0216168 -14.709  < 2e-16 ***
language     0.0050755  0.0279452   0.182    0.856    
highschool   0.3466434  0.0167621  20.680  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 0.1747557)

Null deviance: 757.46  on 2999  degrees of freedom
Residual deviance: 502.50  on 2992  degrees of freedom
AIC: 49184

Làm thế nào để tôi giải thích các tham số? Nếu tôi tính toán exp(coef())mô hình của mình, tôi nhận được ~ 500 cho việc đánh chặn. Bây giờ tôi tin rằng điều đó không có nghĩa là thu nhập dự kiến ​​nếu tất cả các biến khác được giữ cố định, phải không? Vì trung bình hoặc mean(age)nằm ở ~ 2000. Ngoài ra, tôi không biết cách giải thích hướng và giá trị của các hệ số của hiệp phương sai.

Đặc tả gamma GLM được liên kết với log giống hệt với hồi quy theo cấp số nhân:

$$E[y \vert x,z] = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)=\hat y$$

Điều này có nghĩa là . Đó không phải là một giá trị rất có ý nghĩa (trừ khi bạn tập trung vào các biến của mình thành số 0 trước đó).$E[y \vert x=0,z=0]=\exp(\alpha)$

Có ít nhất ba cách để giải thích mô hình của bạn. Một là lấy đạo hàm của giá trị mong đợi của cho x đối với x :$y$$x$$x$

$$\frac{\partial E[y \vert x,z]}{\partial x} = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z\right)\cdot \beta=\hat y \cdot \beta$$

$x$$z$$x$$z$$\hat y \cdot \beta$$x$$y$

$x$

$$E[y \vert z,x=1]-E[y \vert z,x=0]=\exp \left( \alpha + \beta +\gamma \cdot z\right) - \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right)= \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right) \cdot\left( \exp(\beta)-1 \right)$$

$x$

Phương pháp thứ ba là lũy thừa các hệ số. Lưu ý rằng:

$$\begin{array} _E[y \vert z,x+1] &= \exp \left( \alpha + \beta \cdot (x+1) +\gamma \cdot z \right) \\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x+\beta +\gamma \cdot z \right)\\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)\cdot \exp(\beta) \\ &= E[y \vert z,x]\cdot \exp(\beta) \end{array}$$

This means that you can interpret the exponentiated coefficients multiplicatively rather than additively. They give you the multiplier on the expected value when $x$ changes by 1.

First I would look at the residuals to see how well the model fits. If it's OK, I would try using other link functions unless I had reason to believe it really came from a gamma distribution. If the gamma still looked convincing, I would conclude that the statistically significant terms are the intercept, height, education, sex, and high school (the ones marked with three stars). Among themselves one can't say more unless they are standardized (have the same range).

Response to comment: I understand your question better now. You absolutely can do that! A unit increase in the height causes a exp(0.0082530)-1 ~= 0.0082530 (using the exp x = 1 + x approximation for small x) relative change in the income. Very easy to interpret, no?