Có một định lý mà nói rằng

Hãy được bất kỳ phân phối với định nghĩa trung bình, μ và độ lệch chuẩn, σ . Giới hạn lý trung ương nói rằng $X$$\mu$$\sigma$ hội tụ trong phân phối để phân phối chuẩn chuẩn. Nếu chúng ta thay thếσbằng mẫu độ lệch chuẩnS, là có một định lý nói rằng

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$$ $\sigma$$S$ hội tụ trong phân phối đến phân phối t? Vìnlớnphân phối t tiếp cận bình thường, nên định lý, nếu nó tồn tại, có thể nói rằng giới hạn là phân phối chuẩn chuẩn. Do đó, dường như với tôi rằng các bản phân phối t không hữu ích lắm - chúng chỉ hữu ích khiXgần như bình thường. Đây có phải là trường hợp? $$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$$ $n$$X$

Nếu có thể, bạn sẽ chỉ tài liệu tham khảo có chứa một bằng chứng của CLT này khi được thay thế bằng S ? Một tài liệu tham khảo như vậy tốt nhất có thể sử dụng các khái niệm lý thuyết đo lường. Nhưng bất cứ điều gì sẽ là tuyệt vời với tôi tại thời điểm này.$\sigma$$S$

$n$$X$$\mu$$\sigma$

$$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$$ $$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$$

$Y_n = \frac 1{S_n}$$S_n$$X$

Mẫu là iid và vì vậy khoảnh khắc mẫu ước tính khoảnh khắc dân số nhất quán. Vì thế

$$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$$

$$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$$ $c$

$$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$$

Về tính hữu ích của phân phối của Sinh viên, tôi chỉ đề cập rằng, trong "cách sử dụng truyền thống" liên quan đến kiểm tra thống kê, nó vẫn không thể thiếu khi kích thước mẫu rất nhỏ (và chúng tôi vẫn phải đối mặt với những trường hợp như vậy), nhưng cũng có đã được áp dụng rộng rãi cho loạt mô hình tự phát với tính không đồng nhất (có điều kiện), đặc biệt là trong bối cảnh Tài chính Kinh tế lượng, nơi dữ liệu đó phát sinh thường xuyên.