MLE của tham số vị trí trong phân phối Cauchy

Sau khi định tâm, hai phép đo x và −x có thể được coi là các quan sát độc lập từ phân bố Cauchy với hàm mật độ xác suất:

$f(x :\theta) =$ $1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

rằng nếu thì MLE của là 0, nhưng nếu thì có hai MLE của , bằng với ± $x^2≤ 1$ $\theta$ $x^2>1$ $\theta$ $\sqrt {x^2-1}$

Tôi nghĩ để tìm MLE tôi phải phân biệt khả năng đăng nhập:

$dl\over d\theta$ $=\sum$ $2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ $2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ + $2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

Vì thế,

$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

mà sau đó tôi đã đơn giản hóa xuống

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

Bây giờ tôi đã va vào tường. Có thể tôi đã sai ở một số điểm, nhưng dù sao thì tôi cũng không biết phải trả lời câu hỏi như thế nào. Có ai giúp được không?

— người dùng123965
nguồn

Xin vui lòng, giải thích tại sao bạn chia x thành -x và + x? Đây là bài tập về nhà của tôi và tôi đang bị kẹt ở bước đó. Tôi đoán bạn đã áp dụng Phương pháp Raphson của Newton cho nó. Nhưng tôi không nhận được làm thế nào để áp dụng nó. Xin vui lòng cho tôi biết?

— dùng89929

Có một lỗi đánh máy toán học trong tính toán của bạn. Điều kiện đặt hàng đầu tiên cho mức tối đa là:

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial θ} = = 0 & \Rightarrow \frac{2 (x + θ)}{1 + (x + θ)^{2}} - \frac{2 (x - θ)}{1 + (x - θ)^{2}} & = = 0 \\ \Rightarrow (x + θ) + (x + θ) (x - θ)^{2} - (x - θ) - (x - θ) (x + θ)^{2} & = = 0 \\ \Rightarrow 2 θ + (x + θ) (x - θ) [x - θ - (x + θ] & = = 0 \\ \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x + θ) (x - θ) = = 0 \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x^{2} - θ^{2}) & = = 0 \\ \Rightarrow 2 θ (1 - x^{2} + θ^{2}) = = 0 \Rightarrow 2 θ (θ^{2} + (1 - x^{2})) & = = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$

Nếu thì thuật ngữ trong ngoặc đơn không thể bằng 0 (tất nhiên đối với các giải pháp thực sự), do đó bạn chỉ còn lại với giải pháp . $x^2\leq 1$ $\hat \theta =0$

Nếu bạn có , ngoài điểm ứng viên bạn cũng nhận được $x^2 >1$ $2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$ $\theta =0$

\frac{\partial L}{\partial θ} = = 0, cho \hat{θ} = = \pm \sqrt{x^{2} - 1}

$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$

Bạn cũng phải chứng minh tại sao trong trường hợp này không còn là MLE. $\hat \theta =0$

ĐỊA CHỈ

Với , đồ thị của khả năng đăng nhập là $x =\pm 0.5$ nhập mô tả hình ảnh ở đây

trong khi với thì đồ thị của khả năng đăng nhập là, $x =\pm 1.5$ nhập mô tả hình ảnh ở đây

Bây giờ tất cả những gì bạn phải làm là chứng minh nó theo đại số và sau đó tự hỏi "tôi nên chọn cái nào trong hai cái?"

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Cảm ơn! Tôi không thể hiểu tại sao sẽ không còn là MLE nữa

θ = 0

$\theta=0$

— user123965

Làm việc với điều kiện thứ 2 tối đa hoặc đánh giá khả năng tại các giải pháp ứng cử viên

— Alecos Papadopoulos

+1 câu trả lời tuyệt vời. Ngoài ra, đây có thể là thú vị: wolframalpha.com/share/... wolframalpha.com/share/...

— random_user

@random_user Cảm ơn! - Tôi lấy tự do để kết hợp cốt truyện trong câu trả lời.

— Alecos Papadopoulos

Dẫn xuất thứ 2 dương thực sự là mức tối thiểu cục bộ

— Alecos Papadopoulos