Tôi cũng gặp vấn đề này (Mac 2012 chạy El Capitan 10.11.5). Tôi không gặp vấn đề này trên chiếc Mac Mini 2007 chạy 10.6.8 với cấu hình tương tự (ngoại trừ sử dụng HDMI thay vì HDMI). Khi tôi đóng chia sẻ màn hình Mac hoặc TouchPad trên iOS hoặc chuyển đổi ứng dụng iOS hoặc khóa điện thoại, Mac Mini sẽ tắt video bên ngoài.
Cách giải quyết mà tôi đã tìm thấy là: Nhấn tạm dừng / phát trên Apple Remote (điều khiển từ xa hồng ngoại vật lý - không phải là ứng dụng) sau khi bắt đầu video, trước khi đóng chia sẻ màn hình. Sau đó, bạn sẽ có thể đóng màn hình và màn hình sẽ ở lại. Tôi cũng đã làm điều này với chuột bluetooth của Apple và nó cũng hoạt động.
Bạn cũng có thể thực hiện điều này bằng cách đánh thức Mac Mini bằng điều khiển từ xa trước khi bắt đầu chia sẻ màn hình, nếu bạn nhớ. Mặc dù khó chịu vì nó thường sẽ mở và bắt đầu chơi iTunes.
Mac dường như chỉ cần một số đầu vào từ một thiết bị vật lý (chuột hoặc điều khiển từ xa) sau khi thức dậy để ngăn không cho màn hình trở lại trạng thái ngủ.
Cũng sẽ thử hộp kiểm Quản lý từ xa để xem có giúp được không.