Các liên kết có liên quan ở đây và đây , nhưng đây là phiên bản ngắn:

Bạn có đầu vào gồm hai số nguyên avà bgiữa vô cực âm và vô cực (mặc dù nếu cần, tôi có thể giới hạn phạm vi, nhưng hàm vẫn phải chấp nhận đầu vào âm).

Định nghĩa biểu tượng Kronecker

Bạn phải trả lại biểu tượng Kronecker (a|b)cho đầu vào avà bnơi

(a|b) = (a|p_1)^e_1 * (a|p_2)^e_2 * ... * (a|p_n)^e_n

nơi b = p_1^e_1 * p_2^e_2 * ... * p_n^e_n, và p_ivà e_ilà số nguyên tố và số mũ trong nguyên tố của b.

Đối với một số nguyên tố lẻ p, (a|p)=a^((p-1)/2) (mod p)như được định nghĩa ở đây .

Đối với b == 2,(n|2)={0 for n even; 1 for n odd, n=+/-1 (mod 8); -1 for n odd, n=+/-3 (mod 8)

Đối với b == -1,(n|-1)={-1 for n<0; 1 for n>0

Nếu a >= b, (a|b) == (z|b)ở đâu z == a % b. Bởi tài sản này, và như được giải thích ở đây và ở đây , alà một dư lượng bậc hai của bif z, mặc dù a >= b.

(-1|b)= 1nếu b == 0,1,2 (mod 4)và -1nếu b == 3 (mod 4). (0|b)là 0ngoại trừ (0|1)đó là 1, bởi vì (a|1)luôn luôn 1và cho tiêu cực a, (-a|b) == (-1|b) * (a|b).

Đầu ra của biểu tượng Kronecker luôn luôn -1, 0 or 1, trong đó đầu ra là 0nếu avà bcó bất kỳ yếu tố chung nào. Nếu blà một số nguyên tố lẻ, (a|b) == 1nếu alà một dư lượng bậc hai mod b, và -1nếu là nó không phải là một dư lượng bậc hai.

Quy tắc

• Mã của bạn phải là một chương trình hoặc một chức năng.

• Các đầu vào phải theo thứ tự a b.

• Các đầu ra phải là một trong hai -1, 0hoặc 1.

• Đây là mã golf, vì vậy mã của bạn không cần phải hiệu quả, chỉ cần ngắn.

• Không có tích hợp nào tính toán trực tiếp Kronecker hoặc các biểu tượng Jacobi và Legendre liên quan. Các phần mềm tích hợp khác (ví dụ: thừa số nguyên tố) là trò chơi công bằng.

Ví dụ

>>> kronecker(1, 5)
1
>>> kronecker(3, 8)
-1
>>> kronecker(15, 22)
1
>>> kronecker(21, 7)
0
>>> kronecker(5, 31)
1
>>> kronecker(31, 5)
1
>>> kronecker(7, 19)
1
>>> kronecker(19, 7)
-1
>>> kronecker(323, 455625)
1
>>> kronecker(0, 12)
0
>>> kronecker(0, 1)
1
>>> kronecker(12, 0)
0
>>> kronecker(1, 0)
1
>>> kronecker(-1, 5)
1
>>> kronecker(1, -5)
1
>>> kronecker(-1, -5)
-1
>>> kronecker(6, 7)
-1
>>> kronecker(-1, -7)
1
>>> kronecker(-6, -7)
-1

Đây là một chức năng phức tạp, vì vậy xin vui lòng cho tôi biết nếu có bất cứ điều gì không rõ ràng.

CJam (70 byte)

{_g\zmf+f{:P2+"W>2*(
z1=
;1
7&4-z[0W0X0]=
P%P+P(2/#P%_1>P*-"N/<W=~}:*}

Bản demo trực tuyến (các trường hợp thử nghiệm được tạo bằng Mathicala).

Mổ xẻ

{               e# Anonymous function. Stack: a b
  _g\zmf+       e# Factorise b, with special treatment for negatives
                e# CJam also gives special treatment to 0 and 1
                e# Stack: e.g. a [-1 2 2 5]; or a [-1 1]; or a [0 0]; or a [1 2 2 5]
  f{            e# For each "prime" factor P, find (a|P)
    :P2+        e# Extract code for P from an array formed by splitting a string
    "W>2*(      e#   a -> (a|-1)
z1=             e#   a -> (a|0)
;1              e#   a -> (a|1)
7&4-z[0W0X0]=   e#   a -> (a|2)
P%P+P(2/#P%_1>P*-" e# a -> (a|P) for odd prime P
    N/<W=~      e# Split string and select appropriate element
  }
  :*            e# Multiply the components together
}

Tôi đã tìm thấy một số cách đánh giá (a|2)cho cùng một số lượng ký tự và đã chọn sử dụng cách đánh giá rõ ràng nhất.

integer array <W= IMO là một cách thực hiện dự phòng khá tao nhã: nếu số nguyên lớn hơn độ dài của mảng, chúng tôi chọn phần tử cuối cùng.

Những bình luận khác

Thật đáng thất vọng vì với số nguyên tố kỳ lạ p, phong cách Fermat trực tiếp (a|p)rất ngắn, bởi vì có một cách rất hay để tìm kiếm (a|n)số lẻ tích cực nmà tôi muốn sử dụng. Cơ sở là bổ đề của Zolotarev:

Nếu plà một số nguyên tố lẻ và alà một số nguyên nguyên pthì biểu tượng Legendre (a|p)là dấu hiệu của hoán vịx -> ax (mod p)

Điều này đã được Frobenius củng cố để

Nếu avà blà các số nguyên lẻ dương tương ứng thì biểu tượng Jacobi (a|b)là dấu hiệu của hoán vịx -> ax (mod b)

và bởi Lerch để

Nếu blà một số nguyên lẻ dương và alà một số nguyên nguyên tố bthì biểu tượng Jacobi (a|b)là dấu hiệu của hoán vịx -> ax (mod b)

Xem Brunyate và Clark, mở rộng cách tiếp cận Zolotarev-Frobenius đối với phương pháp đối ứng bậc hai , Tạp chí Ramanujan 37.1 (2014): 25-50 để tham khảo.

Và nó có thể dễ dàng được tăng cường thêm một bước nữa (mặc dù tôi chưa thấy điều này trong tài liệu)

Nếu blà một số nguyên lẻ dương và alà một số nguyên thì biểu tượng Jacobi (a|b)là biểu tượng Levi-Civita của bản đồ x -> ax (mod b).

Bằng chứng: nếu alà đồng thời bthì chúng ta sử dụng Zolotarev-Frobenius-Lerch; mặt khác, bản đồ không phải là một hoán vị và biểu tượng Levi-Civita là 0như mong muốn.

Điều này đưa ra phép tính biểu tượng Jacobi

{_2m*{~>},@ff*\ff%::-:*g}

Nhưng cách xử lý đặc biệt cần thiết (a|-1)và (a|2)có nghĩa là tôi chưa tìm ra cách tính biểu tượng Kronecker ngắn hơn với cách tiếp cận này: nó ngắn hơn để nhân tố và xử lý các số nguyên tố riêng lẻ.

Python 3, 747 369 335 byte

Như một câu trả lời ví dụ, chỉ chơi golf một chút, và để cho bạn biết ý tưởng của một câu trả lời sẽ như thế nào.

Và đúng vậy, các yếu tố chính và các bit mã hóa độ dài chạy được đưa vào từ Pyth với lời xin lỗi tới isaacg .

from itertools import*
def k(d,r):
 if d<0:a=-d;m=1
 else:a=d;m=0
 if r==1:return 1
 p=1;w=r;n=2;f=[]
 while n*n<=w:
  while w%n<1:w//=n;f+=n,
  n+=1
 if w>1:f+=w,
 z=[[k,len(list(g))]for k,g in groupby(f)]
 for i,j in z:
  if i==2:p*=pow(-1,(a*a-1)//8)
  x=pow(a,(i-1)//2,i)
  if x>1:x-=i
  p*=x**j
 if m:p*=pow(-1,(r-1)//2)
 return p

Toán học, 169 175 165 byte

(1|-1)~k~0=_~k~1=1
_~k~0=0
a_~k~-1=If[a<0,-1,1]
a_~k~2=DirichletCharacter[8,2,a]
a_~k~p_/;PrimeQ@p=Mod[a^((p-1)/2),p,-1]
a_~k~b_:=1##&@@(a~k~#^#2&@@@FactorInteger@b)

LabVIEW, 44 Byte LabVIEW Nguyên thủy

Vì đối xứng của nó, tôi đã trao đổi các đầu vào nếu a lớn hơn b.

Đại diện cho công thức thực sự bây giờ

đếm như luôn luôn theo

cho trường hợp đúng

Julia, 195 byte

k(a,b)=b==0?a∈[1,-1]?1:0:b==1?1:b==2?iseven(a)?0:a%8∈[1,-1]?1:-1:b==-1?a<1?-1:1:isprime(b)&&b>2?a%b==0?0:a∈[i^2%b for i=0:b-1]?1:-1:k(a,sign(b))*prod(i->k(a,i)^factor(b)[i],keys(factor(b)))

Đây là hàm đệ quy kchấp nhận hai số nguyên và trả về một số nguyên.

Ung dung:

function k(a::Integer, b::Integer)
    if b == 0
        return a ∈ [1, -1] ? 1 : 0
    elseif b == 1
        return 1
    elseif b == 2
        return iseven(a) ? 0 : a % 8 ∈ [1, -1] ? 1 : -1
    elseif b == -1
        return a < 1 ? -1 : 1
    elseif isprime(b) && b > 2
        return a % b == 0 ? 0 : a ∈ [i^2 % b for i = 1:b-1] ? 1 : -1
    else
        p = factor(b)
        return k(a, sign(b)) * prod(i -> k(a, i)^p[i], keys(p))
    end
end

Haskell, 286 byte

a#0|abs a==1=1|1<2=0
a#1=1
a#2|even a=0|mod a 8`elem`[1,7]=1|1<2=(-1)
a#b|b<0=a`div`abs a*a#(-b)|all((/=0).mod b)[2..b-1]=if elem n[0,1] then n else(-1)|1<2=product$map(a#)$f b where n=a^(div(b-1)2)`mod`b
f 1=[]
f n|n<0=(-1):f(-n)|1<2=let p=head$filter((==0).mod n)[2..n]in p:f(div n p)

Có lẽ không hoàn toàn tối ưu hóa, nhưng một nỗ lực dũng cảm. Biểu tượng Kronecker được định nghĩa là hàm infix a # b, nghĩa là

*Main>323#455265 
1