Mối quan hệ giữa P so với NP và khả năng giải quyết vấn đề NP hiệu quả là gì?

Tôi đã suy nghĩ về cách tự nhiên có thể tính toán một cách hiệu quả các vấn đề vô lý (ví dụ NP) một cách dễ dàng. Ví dụ, một hệ lượng tử đòi hỏi một$2^n$ vectơ phần tử để biểu diễn trạng thái, trong đó $n$chỉ là số lượng hạt. Thiên nhiên không cần thêm thời gian mặc dù tính chất "giải quyết" theo cấp số nhân$n$hệ thống hạt.

Đây có thể không phải là một giả định hoàn toàn hợp lệ, nhưng nguyên tắc hành động trong vật lý khiến tôi nghĩ rằng tự nhiên luôn muốn làm mọi thứ một cách dễ dàng nhất. Nếu điều đó không đúng, thì câu hỏi này có lẽ là tranh luận.

Nếu chúng ta thấy rằng thiên nhiên KHÔNG có khả năng giải quyết một số vấn đề một cách hiệu quả, điều này có nghĩa là chúng ta sẽ phải chịu số phận để có thể giải quyết các vấn đề NP trong thời gian đa thức? Các định luật vật lý có phải là vũ khí đủ mạnh để giải quyết P so với NP không? Có phải điều ngược lại của câu hỏi / khẳng định đầu tiên cũng đúng (nếu tự nhiên có thể làm được, thì phải có cách nào để chúng ta làm như vậy)?

Dưới đây là năm nhận xét có thể hữu ích cho bạn:

1. Niềm tin hiện nay là rằng, mặc dù exponentiality của hàm sóng, cơ học lượng tử sẽ không để chúng tôi giải quyết vấn đề NP-đầy đủ trong thời gian đa thức (mặc dù nó nổi tiếng không để chúng tôi giải quyết một số vấn đề NP "đặc biệt", như bao thanh toán và logarit rời rạc). Khó khăn cơ bản là, ngay cả khi một giải pháp cho vấn đề NP là "ở đâu đó" trong hàm sóng, điều đó không hữu ích nếu một phép đo sẽ chỉ tiết lộ giải pháp đó với xác suất nhỏ theo cấp số nhân. Để có được một thuật toán lượng tử hữu ích , bạn cần sử dụng nhiễu lượng tử để đưa ra câu trả lời đúng với xác suất cao và chỉ biết làm thế nào để tăng tốc theo cấp số nhân theo cách đó (so với thuật toán cổ điển nổi tiếng nhất) cho một vài vấn đề đặc biệt như bao thanh toán.

2. Nguyên tắc hành động không ngụ ý rằng Thiên nhiên có bất kỳ sức mạnh giảm thiểu ma thuật nào. Cách dễ nhất để thấy rằng bất kỳ luật vật lý nào được xây dựng theo nguyên tắc hành động, cũng có thể được xây dựng theo cách tiến hóa theo thời gian thông thường của một trạng thái, mà không cần tham khảo bất cứ điều gì được giảm thiểu.

3. Nếu P = NP, thì chắc chắn các vấn đề hoàn thành NP có thể được giải quyết trong thời gian đa thức trong vũ trụ vật lý, vì các máy tính Turing phổ dụng tồn tại (hiện bạn đang sử dụng một máy tính). Tuy nhiên, hướng ngược lại là xa rõ ràng! Ví dụ: ngay cả khi bạn giả sử P ≠ NP, nó vẫn hợp lý có thể (nếu rất khó) rằng máy tính lượng tử có thể giải quyết các vấn đề hoàn thành NP trong thời gian đa thức.

4. Giả định đơn thuần rằng có một số vấn đề mà chúng ta không thể giải quyết một cách hiệu quả, chắc chắn không ngụ ý rằng các vấn đề hoàn thành NP phải nằm trong số những vấn đề đó! (Có thể nó sẽ chỉ ra rằng lực hấp dẫn lượng tử cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề hoàn thành NP trong thời gian tuyến tính, nhưng vấn đề hoàn thành PSPACE vẫn mất thời gian theo cấp số nhân ... :-D)

5. Đối với bất cứ giá trị nào, tiền của tôi chắc chắn dựa trên phỏng đoán không chỉ P NP, mà cả các vấn đề hoàn thành NP đều có thể gây ra trong vũ trụ vật lý --- sử dụng máy tính lượng tử, máy tính tương tự, "máy tính lỗ đen" hoặc bất kỳ tài nguyên khác. Để biết thêm về lý do của tôi tại sao, bạn có thể thưởng thức bài viết khảo sát cũ của tôi về các vấn đề hoàn chỉnh NP và thực tế vật lý

câu hỏi này về cơ bản là hỏi về lĩnh vực điện toán tự nhiên có nhiều góc độ / hướng thú vị. Đây là một bài viết khảo sát tốt đẹp: Nguyên tắc cơ bản của điện toán tự nhiên: tổng quan của de Castro.

những lĩnh vực này về cơ bản là những câu hỏi mở trong lĩnh vực điện toán và vật lý và tuân theo một "nguyên tắc bất định" vốn có ở chỗ chúng có thể hình dung không bao giờ được trả lời dứt khoát vì nhiều lý do. có nhiều hệ thống tính toán vật lý khác nhau, những hệ thống mới được phát hiện theo thời gian (ví dụ: điện toán DNA là một lĩnh vực còn khá trẻ) và chúng tôi không thể chắc chắn rằng chúng tôi đã tìm thấy tất cả [và từ kinh nghiệm / lịch sử không chắc là chúng tôi có].

ngoài ra các giới hạn cực đoan của vật lý được áp dụng [ví dụ: các lỗ đen wrt, v.v.] và những lý thuyết này kéo dài các lý thuyết vật lý đến các giới hạn! (xem ví dụ "khối lượng thông tin là gì" ) các nhà vật lý lý thuyết thường thừa nhận rằng có những khía cạnh của thực tế vật lý không được bao phủ bởi kiến ​​thức của con người và các mô hình [toán học] đặc biệt ở các thái cực.

có một số niềm tin được bảo vệ / bảo vệ mạnh mẽ, có thể không thể chứng minh được tuy nhiên trong số các nhà nghiên cứu sao cho chúng có thể được gọi là "luận điểm" theo cùng nghĩa của luận án Church-Turing. [1] một số nhà chức trách đề cập đến một luận án Church-Turing "đa thời gian" liên quan đến câu hỏi của bạn. cũng có tài liệu tham khảo cho luận án CT mạnh:

bất kỳ thiết bị điện toán nào cũng có thể được mô phỏng bởi các TM với sự chậm nhất là đa thức.

hoặc luận án CT mở rộng [Parberry] [3]:

Thời gian trên tất cả các kiểu máy "hợp lý" có liên quan đến đa thức.

trong ngắn hạn, nghiên cứu và viết trong lĩnh vực chung này không được giải quyết; hoạt động / liên tục của nó và chịu sự tranh cãi cao. có một số tài liệu tham khảo trên wikipedia [4] nhưng mặt khác chưa thấy một bài viết khảo sát hay về chủ đề này, chỉ có nhiều bài viết khác nhau có xu hướng ủng hộ một số quan điểm nhất định. cũng lưu ý rằng có tranh luận / tranh cãi rất mạnh hiện nay trong lĩnh vực điện toán QM về tính khả thi (tiếng ồn vốn có) và khả năng tồn tại, vv [5]

[1] Vật lý và luồng toán học luận án Church-Turing

[2] ý nghĩa của việc từ chối luận án CT cstheory.se

[3] luận án CT mở rộng cstheory.se

[4] Các biến thể của luận án Church-Turing , wikipedia

[5] Trạng thái của nghệ thuật và triển vọng cho máy tính QM Dyakonov

Tôi đã có một giáo sư tính toán thần kinh một lần chỉ ra một ví dụ tuyệt vời về cách các kỹ thuật "tương tự" có thể được sử dụng cho các vấn đề song song lúng túng để giảm ràng buộc tiệm cận của một tính toán:

Lấy một bó que có kích cỡ khác nhau. Có nhiều cách thuật toán để sắp xếp bó gậy đó từ dài nhất đến ngắn nhất với O (n * log (n)). Một cách "tương tự" để sắp xếp bó gậy đó là đứng trên đầu và để gậy nằm một đầu trên bàn (1 bước). Bây giờ bạn có tất cả các gậy với một đầu ở cùng cấp với bàn. Nắm lấy tay bạn và đặt nó lên trên cùng - nó sẽ chạm lâu nhất, gỡ cây gậy đó ra và lặp lại trong N bước. Quá trình này là O (N + 1) là O (N). Chìa khóa ở đây là xếp các que ở đầu - một giải pháp song song ồ ạt để sắp xếp các đầu khác của gậy dọc theo trục z (lên).

Đây là một thử nghiệm gọn gàng và có thể đưa ra ý tưởng về cách các giải pháp tương tự có thể làm giảm ràng buộc tiệm cận của thuật toán một cách đơn giản. Hai cảnh báo lớn ở đây:

1) Chúng tôi chưa đưa vấn đề NP đến vấn đề P với ví dụ này (sẽ nói thêm về vấn đề này sau) và

2) nếu bạn đã sử dụng bộ xử lý N để sắp xếp N mục, bạn có thể sắp xếp các số theo thời gian O (log n) (với hằng số lớn), do đó việc giảm không phải là phép thuật. Đôi khi các tài nguyên tương tự cần thiết để giải quyết vấn đề theo cách song song rất rẻ. Một ví dụ khác về tài nguyên giá rẻ sẽ là tế bào thần kinh (sinh học) để học tập và nhận dạng mẫu phức tạp.

Các nơ-ron cũng có thể đặt NP rõ ràng => P vào phối cảnh. Vấn đề NP là NP để tìm tối ưu giải pháp . Bạn có thể tìm thấy một giải pháp "đủ tốt" trong thời gian P sẽ hoạt động tốt trong tự nhiên. Evolution chọn các giải pháp hiệu quả cao "đủ tốt". Hãy suy nghĩ về việc một người bình thường giỏi trong việc xác định các đối tượng trong gần như O (1). Đó là bởi vì có rất nhiều quá trình xử lý song song đang diễn ra và bộ não của bạn vẫn không phải lúc nào cũng đưa ra giải pháp tối ưu. Ví dụ, ảo ảnh quang học hoặc quên nơi bạn đặt các phím của mình (sẽ dễ dàng là O (1) cho máy tính!).

Một điểm khác với NP vs P về bản chất: giải NP để tìm giải pháp tối ưu không giống như xác định giải pháp tối ưu. Xác định một giải pháp tối ưu cho vấn đề NP có thể được thực hiện trong thời gian P. Một lần nữa công nhận một giải pháp "đủ tốt" sẽ hoạt động chứ không phải là một giải pháp tối ưu. Lấy ví dụ về việc gấp protein - đây là một ví dụ về tự nhiên làm tất cả những điều trên. Nó lợi dụng các lực tương tác phân tử mà tất cả đều hoạt động song song (không cần "thuật toán" gấp tự nhiên để giải quyết một nguyên tử tại một thời điểm như thuật toán tính toán thực hiện). Ngoài ra, không có gì đảm bảo rằng giải pháp tối ưu (chức năng) cho việc gấp protein sẽ được tìm thấy.

Có rất nhiều ví dụ về các bệnh do sai lệch protein. Như @PeterShor đã chỉ ra đôi khi thuật toán "tự nhiên" hoàn toàn không hoạt động (dẫn đến một giải pháp tối ưu về nhiệt động lực học, nhưng không phải là một chức năng). Đó là nơi mà protein chaperone đi vào - chúng hướng dẫn sự gấp lại thành dạng chức năng chính xác (một nhiệt động lực học địa phươngtối thiểu). Các protein được hình thành chính xác cũng tương tác với các protein khác để vận chuyển đến đúng vị trí, do đó, các protein "xấu" (trong đó thuật toán heuristic không thực sự giải quyết được vấn đề NP) thường bị suy giảm mà không được vận chuyển đi bất cứ đâu. Tất cả các cơ chế vận chuyển và gấp này đang diễn ra với các đường ống song song lớn. Nhiều cơ chế phiên mã và xử lý đang đồng thời chuyển đổi DNA-> RNA-> Protein tại các điểm khác nhau trên chuỗi gen. Mọi tế bào trong cơ thể bạn đều hoạt động giống nhau (nhưng với các thông điệp hóa học khác nhau về những gì cần sản xuất).

Vì vậy, trong ngắn hạn: làm thế nào tự nhiên làm điều đó? Thủ thuật và song song. Nói chung, nó không thực sự biến một vấn đề NP thành P, nó chỉ làm cho nó dễ nhìn.