Lý do mà đồ thị có thể không màu?

Trong khi lý luận một chút về câu hỏi này , tôi đã cố gắng để xác định tất cả những lý do khác nhau mà một đồ thị có thể thất bại là có lẽ thật. Đây là 2 lý do duy nhất mà tôi có thể xác định cho đến nay:$G = (V_G,E_G)$$k$

1. k + $G$ chứa một cụm kích thước . Đây là lý do rõ ràng.$k+1$

2. tại một sơ đồ con của sao cho cả hai câu lệnh sau đều đúng:$H = (V_H, E_H)$$G$

   • k - $H$ không thể tô màu .$k-1$
   • x G H x $\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G$ . Nói cách khác tồn tại một nút trong nhưng không phải trong , sao cho được kết nối với mỗi nút trong .$x$$G$$H$$x$$H$

Chúng ta có thể thấy 2 lý do trên là quy tắc. Bằng cách áp dụng đệ quy chúng, 2 cách duy nhất để xây dựng một biểu đồ không màu không chứa cụm là:k + $k$$k+1$

1. Bắt đầu từ một chu kỳ có độ dài chẵn (có thể màu), sau đó áp dụng quy tắc 2 cho lần. Lưu ý rằng một cạnh không được coi là một chu kỳ có độ dài (nếu không thì quá trình này sẽ có tác dụng xây dựng một cụm ).k - 1 2 k + $2$$k-1$$2$$k+1$
2. Bắt đầu từ một chu kỳ có độ dài lẻ (có thể màu), sau đó áp dụng quy tắc 2 cho lần. Độ dài của chu kỳ bắt đầu phải lớn hơn (nếu không quá trình này sẽ có tác dụng xây dựng một cụm ).k - 2 3 k + $3$$k-2$$3$$k+1$

Câu hỏi

Có bất kỳ lý do nữa, trừ những 2 ở trên, mà làm cho một đồ thị phi có lẽ thật?$k$

$\ $
Cập nhật ngày 30/11/2012

Chính xác hơn, những gì tôi cần là một số định lý về hình thức:

Biểu đồ có số màu khi và chỉ khi ...χ ( G ) = k + $G$$\chi(G) = k + 1$

Phép tính của Hajós , được Yuval Filmus chỉ ra trong câu trả lời của anh ta, là một ví dụ hoàn hảo cho những gì tôi đang tìm kiếm, vì đồ thị có số màu nếu và chỉ khi nó có thể được lấy từ tiên đề bằng cách liên tục áp dụng 2 quy tắc suy luận của phép tính. Số hahós sau đó là số bước tối thiểu cần thiết để lấy (nghĩa là độ dài của chứng minh ngắn nhất).χ ( G ) = k + 1 K k + 1 h ( G ) $G$$\chi(G) = k + 1$$K_{k+1}$$h(G)$$G$

Điều rất thú vị là:

• Câu hỏi liệu có tồn tại một đồ thị có theo cấp số nhân trong kích thước của vẫn còn mở không.h ( G ) $G$$h(G)$$G$
• Nếu không tồn tại, thì .N P = c o N $G$$NP = coNP$

Bạn nên kiểm tra tính toán của Hajós . Hajós đã chỉ ra rằng mọi đồ thị có số màu ít nhất là có một sơ đồ con có "lý do" để yêu cầu màu. Lý do trong câu hỏi là một hệ thống bằng chứng cho yêu cầu màu sắc. Tiên đề duy nhất là , và có hai quy tắc suy luận. Xem thêm bài viết này của Pitassi và Urquhart về hiệu quả của hệ thống bằng chứng này.k k K $k$$k$$k$$K_k$

Một câu trả lời một phần, trong đó tôi không biết một "lý do" tốt đẹp nào có thể khái quát, nhưng biểu đồ sau (không biết xấu hổ có biệt danh từ đây ):

Không phải là 3 màu, nhưng rõ ràng là 4 màu (là mặt phẳng) và nó không chứa , cũng không có chu kỳ nào có một đỉnh bổ sung được kết nối với tất cả các đỉnh của chu kỳ (trừ khi tôi thiếu một cái gì đó, nhưng chỉ các đỉnh được kết nối với một đỉnh và hàng xóm của nó nằm trong 3 chu kỳ). Đưa nó đi xa hơn, bạn có thể áp dụng một phiên bản của quy tắc 2 để có được một biểu đồ số 5 màu.$K_{4}$

Tôi nghi ngờ rằng đối với bất kỳ chi cụ thể nào, có một biểu đồ về số lượng màu tối thiểu nhất định (xem phỏng đoán của Heawood ) không tuân theo quy tắc 1 hoặc 2. Tất nhiên tôi không có bằng chứng nào khác ngoài trực giác.

Lovasz đã tìm thấy các vật cản tôpô cho tính màu k và sử dụng lý thuyết của mình để giải quyết phỏng đoán của Knaser. Định lý của ông là như sau. Đặt G là một đồ thị được kết nối và để N (G) là một phức hợp đơn giản có các mặt là tập con của V có hàng xóm chung. Sau đó, nếu N (K) được kết nối k (cụ thể là, tất cả các nhóm tương đồng giảm của nó là 0 cho đến kích thước k - 1) thì số lượng màu cần thiết để tô màu G ít nhất là k + 3.

Không có một bộ độc lập lớn có thể quan trọng như có một cụm lớn.

Một cản trở quan trọng để đồ thị không thể tô màu k là kích thước tối đa của một tập độc lập nhỏ hơn n / k, trong đó n là số đỉnh. Đây là một sự cản trở rất quan trọng. Ví dụ, nó ngụ ý rằng một biểu đồ ngẫu nhiên trong G (n, 1/2) có số màu ít nhất là n / log n.

Một cản trở tinh chỉnh hơn là đối với mỗi lần gán trọng số không âm cho các đỉnh không có tập độc lập nào chiếm được một phần 1/5 (hoặc nhiều hơn) của tổng trọng lượng. Lưu ý rằng điều này cũng bao gồm "không có vật cản clique." LP-duality cho bạn biết rằng vật cản này tương đương với "số sắc độ phân đoạn" của G lớn hơn k.

Ngoài ra còn có các vật cản cho khả năng tạo màu k của một bản chất khác đôi khi vượt ra ngoài hàng rào số màu phân đoạn. Tôi sẽ dành một asnwer riêng cho họ.

$G$$\chi(G)=k+1$

$G$$\chi(G)\ge k$$G$$k-1$