Có bất kỳ tuyên bố chung nào về loại vấn đề nào có thể được giải quyết hiệu quả hơn bằng máy tính lượng tử không?

Có một tuyên bố chung về loại vấn đề nào có thể được giải quyết hiệu quả hơn bằng cách sử dụng máy tính lượng tử (chỉ mô hình cổng lượng tử)? Các vấn đề mà một thuật toán được biết đến ngày nay có một thuộc tính chung không?

Theo như tôi hiểu điện toán lượng tử giúp giải quyết vấn đề nhóm con ẩn (Shor); Thuật toán của Grover giúp tăng tốc các vấn đề tìm kiếm. Tôi đã đọc được rằng các thuật toán lượng tử có thể tăng tốc nếu bạn tìm kiếm một 'tài sản toàn cầu' của một hàm (Grover / Deutsch).

1. Có một tuyên bố ngắn gọn và chính xác hơn về nơi điện toán lượng tử có thể giúp đỡ?
2. Có thể đưa ra một lời giải thích tại sao vật lý lượng tử có thể giúp đỡ ở đó (tốt nhất là một cái gì đó sâu hơn mà 'nhiễu có thể được khai thác')? Và tại sao nó có thể không giúp ích cho các vấn đề khác (ví dụ: đối với các sự cố hoàn thành NP)?

Có giấy tờ liên quan mà chỉ thảo luận về điều đó?

Tôi đã hỏi câu hỏi này trước đây trên cstheory.stackexchange.com nhưng nó có thể phù hợp hơn ở đây.

Về tính hữu ích tính toán nói chung

Có lẽ không nhận ra điều đó, bạn đang hỏi một phiên bản của một trong những câu hỏi khó nhất mà bạn có thể hỏi về khoa học máy tính lý thuyết. Bạn có thể hỏi cùng một câu hỏi về máy tính cổ điển, chỉ thay vì hỏi liệu việc thêm 'lượng tử' có hữu ích hay không, bạn có thể hỏi:

• Có một tuyên bố ngắn gọn về nơi các thuật toán ngẫu nhiên có thể giúp đỡ?

  Có thể nói điều gì đó rất mơ hồ ở đây - nếu bạn nghĩ rằng các giải pháp đó rất phong phú (hoặc số lượng giải pháp cho một số vấn đề phụ rất phong phú) nhưng có thể khó xây dựng một cách có hệ thống, thì thật hữu ích khi có thể thực hiện lựa chọn ngẫu nhiên để vượt qua vấn đề xây dựng có hệ thống. Nhưng hãy cẩn thận, đôi khi lý do tại sao bạn biết rằng có nhiều giải pháp phong phú cho một vấn đề phụ là bởi vì có một bằng chứng sử dụng phương pháp xác suất . Khi đây là trường hợp, bạn biết rằng số lượng giải pháp rất phong phú bằng cách giảm xuống những gì có hiệu lực của một thuật toán ngẫu nhiên hữu ích!

  Trừ khi bạn có một cách khác để chứng minh thực tế là số lượng giải pháp rất dồi dào cho những trường hợp đó, không có mô tả đơn giản nào khi một thuật toán ngẫu nhiên có thể giúp ích. Và nếu bạn có nhu cầu 'hữu ích' đủ cao (một lợi thế siêu đa thức), thì điều bạn đang hỏi là liệu , đây là một vấn đề chưa được giải quyết trong lý thuyết phức tạp. $\mathsf P \ne \mathsf{BPP}$
  
  

• Có một tuyên bố ngắn gọn về nơi các thuật toán song song có thể giúp đỡ?

  Ở đây mọi thứ có thể tốt hơn một chút. Nếu một vấn đề có vẻ như có thể được chia thành nhiều vấn đề phụ độc lập, thì nó có thể được xử lý song song - mặc dù đây là một vấn đề mơ hồ, "bạn sẽ biết nó khi bạn nhìn thấy nó". Câu hỏi chính là, bạn sẽ biết nó khi bạn nhìn thấy nó? Bạn có đoán được rằng việc kiểm tra tính khả thi của các hệ phương trình tuyến tính trên các tỷ số không chỉ có thể song song mà còn có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các mạch thứ tự [cf  Comput. Phức tạp. 8 (trang 99--126), 1999 ]?$O(\log^2 n)$

  Một cách mà mọi người cố gắng vẽ ra một trực giác hình ảnh lớn cho việc này là tiếp cận câu hỏi từ hướng ngược lại, và nói khi biết rằng một thuật toán song song sẽ không giúp ích. Cụ thể, nó sẽ không hữu ích nếu vấn đề có một khía cạnh liên tục vốn có của nó. Nhưng đây là thông tư, bởi vì 'tuần tự' chỉ có nghĩa là cấu trúc mà bạn có thể thấy cho vấn đề là một cấu trúc không song song.

  Một lần nữa, không có mô tả đơn giản, toàn diện về thời điểm thuật toán song song có thể giúp ích. Và nếu bạn có nhu cầu cao về "sự hữu ích" (một đa giác logarit giới hạn về lượng thời gian, giả sử song song đa thức), thì điều bạn đang hỏi là liệu $\mathsf P \ne \mathsf{NC}$ , một lần nữa là một vấn đề chưa được giải quyết trong lý thuyết phức tạp .
  
  

Triển vọng cho "mô tả ngắn gọn và chính xác về thời điểm [X] là hữu ích" không có vẻ quá lớn vào thời điểm này. Mặc dù bạn có thể phản đối rằng chúng tôi quá khắt khe ở đây: với lý do đòi hỏi nhiều hơn lợi thế đa thức, chúng tôi thậm chí không thể cho rằng máy Turing không xác định là 'hữu ích' (rõ ràng là vô lý). Chúng ta không nên yêu cầu một thanh cao như vậy - trong trường hợp không có kỹ thuật để giải quyết hiệu quả sự thỏa mãn, ít nhất chúng ta nên chấp nhận rằng nếu bằng cách nào đó chúng ta có thể có được một máy Turing không xác định, chúng ta thực sự sẽ thấy nó rất hữu ích . Nhưng điều này khác với việc có thể mô tả chính xác những vấn đề mà chúng ta sẽ thấy nó hữu ích cho nó.

Về sự hữu ích của máy tính lượng tử

Lùi lại một bước, có điều gì chúng ta có thể nói về nơi máy tính lượng tử có ích không?

Chúng ta có thể nói điều này: một máy tính lượng tử chỉ có thể làm điều gì đó thú vị nếu nó lợi dụng cấu trúc của một vấn đề, vốn không có sẵn cho một máy tính cổ điển. (Điều này được gợi ý bởi các nhận xét về một "tài sản toàn cầu" của một vấn đề, như bạn đề cập). Nhưng chúng ta có thể nói nhiều hơn thế: các vấn đề được giải quyết bằng máy tính lượng tử trong mô hình mạch đơn nhất sẽ khởi tạo một số tính năng của vấn đề đó như là các toán tử đơn vị . Các tính năng của vấn đề không khả dụng đối với máy tính cổ điển sẽ là tất cả những vấn đề không có mối quan hệ có ý nghĩa thống kê (có thể chứng minh) với cơ sở tiêu chuẩn.

• Trong trường hợp thuật toán của Shor, thuộc tính này là giá trị riêng của toán tử hoán vị được xác định theo cấp số nhân trên một vòng.
• $\pm 1$

Không có gì đáng ngạc nhiên khi thấy rằng trong cả hai trường hợp, thông tin liên quan đến giá trị riêng và hàm riêng. Đây là một ví dụ tuyệt vời về một tài sản của một nhà điều hành không cần phải có bất kỳ mối quan hệ có ý nghĩa với cơ sở tiêu chuẩn. Nhưng không có lý do cụ thể tại sao thông tin phải là một giá trị riêng. Tất cả những gì cần thiết là để có thể mô tả một toán tử đơn nhất, mã hóa một số tính năng có liên quan của vấn đề không rõ ràng từ việc kiểm tra cơ sở tiêu chuẩn, nhưng có thể truy cập theo một cách dễ dàng khác được mô tả.

Cuối cùng, tất cả những gì nói là một máy tính lượng tử rất hữu ích khi bạn có thể tìm thấy một thuật toán lượng tử để giải quyết vấn đề. Nhưng ít nhất đó là một phác thảo rộng về một chiến lược tìm kiếm các thuật toán lượng tử, không thua kém gì các phác thảo rộng của các chiến lược mà tôi đã mô tả ở trên cho các thuật toán ngẫu nhiên hoặc song song.

Nhận xét khi máy tính lượng tử là 'hữu ích'

Như những người khác đã lưu ý ở đây, "nơi điện toán lượng tử có thể giúp đỡ" phụ thuộc vào ý nghĩa của bạn khi 'trợ giúp'.

• Thuật toán của Shor thường được tìm ra trong các cuộc thảo luận như vậy và thỉnh thoảng mọi người sẽ chỉ ra rằng chúng ta không biết rằng yếu tố này không thể giải quyết được trong thời gian đa thức. Vậy chúng ta có thực sự biết rằng "điện toán lượng tử sẽ hữu ích cho các nhân tố số" không?

  Ngoài những khó khăn trong việc hiện thực hóa máy tính lượng tử, tôi nghĩ ở đây câu trả lời hợp lý là 'có'; không phải vì chúng tôi biết rằng bạn không thể tạo ra hiệu quả khi sử dụng máy tính thông thường mà vì chúng tôi không biết bạn sẽ làm thế nào khi sử dụng máy tính thông thường. Nếu máy tính lượng tử giúp bạn làm điều gì đó mà bạn không có cách tiếp cận nào tốt hơn để làm, thì đối với tôi, đó là 'giúp đỡ'.

• $O(2^{0.386\,n})$

  Có lẽ thuật toán của Grover như vậy không đặc biệt hữu ích. Tuy nhiên, có thể hữu ích nếu bạn sử dụng nó để xây dựng các chiến lược cổ điển thông minh hơn ngoài tìm kiếm vũ phu: sử dụng khuếch đại biên độ , khái quát hóa tự nhiên thuật toán của Grover sang các cài đặt chung hơn, chúng tôi có thể cải thiện hiệu suất của nhiều thuật toán không tầm thường cho SAT (xem ví dụ [ACM SIGACT News  36 (tr.103--108), 2005 - liên kết PDF miễn phí ]; mẹo đội mũ cho Martin Schwarz, người đã chỉ cho tôi tài liệu tham khảo này trong các bình luận).

  Như với thuật toán của Grover, khuếch đại biên độ chỉ mang lại sự tăng tốc đa thức: nhưng thực tế, ngay cả việc tăng tốc đa thức cũng có thể thú vị nếu nó không bị rửa trôi bởi chi phí liên quan đến việc bảo vệ thông tin lượng tử khỏi nhiễu.

TL; DR: Không, chúng tôi không có bất kỳ chính xác "chung" tuyên bố về chính xác loại của các vấn đề máy tính lượng tử có thể giải quyết , về mặt lý thuyết phức tạp. Tuy nhiên, chúng tôi có một ý tưởng sơ bộ.

Theo bài viết phụ của Wikipedia về Mối quan hệ với lý thuyết phức tạp tính toán

Lớp các vấn đề có thể được giải quyết hiệu quả bằng máy tính lượng tử được gọi là BQP , với "lỗi giới hạn, lượng tử, thời gian đa thức". Máy tính lượng tử chỉ chạy các thuật toán xác suất , do đó BQP trên máy tính lượng tử là đối tác của BPP ("lỗi giới hạn, xác suất, thời gian đa thức") trên máy tính cổ điển. Nó được định nghĩa là tập hợp các vấn đề có thể giải được bằng thuật toán thời gian đa thức, có xác suất lỗi được giới hạn ở một nửa . Một máy tính lượng tử được cho là "giải quyết" một vấn đề nếu, trong mọi trường hợp, câu trả lời của nó sẽ đúng với xác suất cao. Nếu giải pháp đó chạy trong thời gian đa thức, thì vấn đề đó nằm ở BQP.

BQP được chứa trong lớp phức tạp #P (hay chính xác hơn là trong lớp các vấn đề quyết định liên quan P ^#P ), là một lớp con của PSPACE .

BQP bị nghi ngờ tách rời khỏi NP-Complete và một superset nghiêm ngặt của P, nhưng điều đó không được biết. Cả hệ số nguyên và nhật ký rời rạc đều nằm trong BQP. Cả hai vấn đề này đều là các vấn đề NP bị nghi ngờ nằm ​​ngoài BPP và do đó bên ngoài P. Cả hai đều bị nghi ngờ là không hoàn thành NP. Có một quan niệm sai lầm phổ biến rằng máy tính lượng tử có thể giải quyết các vấn đề hoàn thành NP trong thời gian đa thức. Điều đó không được biết là đúng và thường bị nghi ngờ là sai.

Khả năng của một máy tính lượng tử để tăng tốc các thuật toán cổ điển có giới hạn cứng nhắc của giới hạn trên độ phức tạp của tính toán lượng tử. Phần áp đảo của các tính toán cổ điển không thể được tăng tốc trên máy tính lượng tử. Một thực tế tương tự diễn ra đối với các tác vụ tính toán cụ thể, như vấn đề tìm kiếm, trong đó thuật toán của Grover là tối ưu.

${\displaystyle O({\sqrt[{3}]{N}})}$$\displaystyle O({\sqrt {N}})$

Mặc dù máy tính lượng tử có thể nhanh hơn máy tính cổ điển đối với một số loại sự cố, những máy tính được mô tả ở trên không thể giải quyết bất kỳ vấn đề nào mà máy tính cổ điển không thể giải quyết. Một máy Turing có thể mô phỏng các máy tính lượng tử này, vì vậy một máy tính lượng tử như vậy không bao giờ có thể giải quyết được một vấn đề khó giải quyết như vấn đề tạm dừng. Sự tồn tại của máy tính lượng tử "tiêu chuẩn" không làm mất đi luận điểm của Giáo hội Turing. Người ta đã suy đoán rằng các lý thuyết về lực hấp dẫn lượng tử, chẳng hạn như lý thuyết M hoặc lực hấp dẫn lượng tử vòng, có thể cho phép các máy tính thậm chí nhanh hơn được chế tạo. Hiện tại, việc xác định tính toán trong các lý thuyết như vậy là một vấn đề mở do vấn đề thời gian, tức là hiện tại không có cách rõ ràng nào để mô tả ý nghĩa của việc người quan sát gửi đầu vào máy tính và sau đó nhận đầu ra.

Về lý do tại sao máy tính lượng tử có thể giải quyết hiệu quả các vấn đề BQP:

1. $n$$2n$

2. Thông thường, tính toán trên máy tính lượng tử kết thúc bằng phép đo. Điều này dẫn đến sự sụp đổ của trạng thái lượng tử đối với một trong những trạng thái cơ bản. Có thể nói rằng trạng thái lượng tử được đo là ở trạng thái chính xác với xác suất cao.

Thật thú vị, nếu về mặt lý thuyết chúng tôi cho phép lựa chọn sau (không có bất kỳ triển khai thực tế có thể mở rộng nào), chúng tôi sẽ nhận được lớp phức tạp sau BQP :

Trong lý thuyết độ phức tạp tính toán, PostBQP là một lớp phức tạp bao gồm tất cả các vấn đề tính toán có thể giải quyết được trong thời gian đa thức trên máy Turing lượng tử với lỗi postelection và giới hạn (theo nghĩa là thuật toán đúng ít nhất 2/3 thời gian đầu vào). Tuy nhiên, Postselection không được coi là một tính năng mà một máy tính thực tế (thậm chí là một lượng tử) sẽ sở hữu, nhưng máy móc chọn bài vẫn thú vị từ góc độ lý thuyết.

Tôi muốn thêm những gì thằn lằn @Disc rời được đề cập trong phần bình luận. Tuy nhiên, bạn chưa xác định rõ ràng ý của bạn là "có thể giúp gì", tuy nhiên, quy tắc ngón tay cái trong lý thuyết phức tạp là nếu một máy tính lượng tử "có thể giúp" về mặt giải quyết trong thời gian đa thức (có lỗi bị ràng buộc) thì lớp của vấn đề nó có thể giải quyết nằm ở BQP nhưng không phải trong P hoặc BPP. Mối quan hệ chung giữa các lớp phức tạp mà chúng ta đã thảo luận ở trên bị nghi ngờ là:

$\text{P $\subseteq$ BPP $\subseteq$ BQP $\subseteq$ PSPACE}$

Tuy nhiên, P = PSPACE, là một vấn đề mở trong Khoa học Máy tính . Ngoài ra, mối quan hệ giữa P và NP vẫn chưa được biết.

Không có tuyên bố chung như vậy và không chắc sẽ sớm có một. Tôi sẽ giải thích tại sao đây là trường hợp. Đối với câu trả lời một phần cho câu hỏi của bạn, xem xét các vấn đề trong hai lớp phức tạp BQP và PostBQP có thể giúp ích.

Các lớp phức tạp gần nhất với các vấn đề có thể được giải quyết hiệu quả bằng các máy tính lượng tử của mô hình cổng lượng tử là

1. BQP ; và
2. PostBQP

BQP bao gồm các vấn đề có thể được giải quyết trong thời gian đa thức trên mạch lượng tử. Hầu hết các thuật toán lượng tử quan trọng, như thuật toán của Shor, giải quyết các vấn đề trong BQP.

$=$

Tuy nhiên, hiện tại không có phương pháp nào để thực hiện thực tế postelection, vì vậy PostBQP được quan tâm nhiều hơn về mặt lý thuyết.

Mối quan hệ giữa P, NP và BQP hiện chưa rõ; và một vấn đề mở theo thứ tự của P so với NP. Như một tuyên bố chung về loại vấn đề nào có thể được giải quyết hiệu quả hơn bằng cách sử dụng máy tính lượng tử phải trả lời câu hỏi BQP so với P (nếu BQP = P, thì rõ ràng máy tính lượng tử không hiệu quả hơn (ít nhất là đối với các nhà lý thuyết phức tạp))

Tương tự như bức tranh của Blue, tôi thích bức này từ Tạp chí Quanta hơn, vì nó dường như tóm tắt trực quan những gì chúng ta đang nói.