Thuật toán lượng tử cho số của Chúa

Số của Thiên Chúa là trường hợp tồi tệ nhất của thuật toán của Thiên Chúa đó là

một khái niệm bắt nguồn từ các cuộc thảo luận về cách giải câu đố Cube của Rubik, nhưng cũng có thể được áp dụng cho các câu đố kết hợp và trò chơi toán học khác. Nó đề cập đến bất kỳ thuật toán nào tạo ra một giải pháp có ít chuyển động nhất có thể, ý tưởng là một sinh vật toàn năng sẽ biết một bước tối ưu từ bất kỳ cấu hình nào.

Việc tính toán số lượng của Chúa là 20 mất "35 năm thời gian máy tính (cổ điển) nhàn rỗi".

Loại tăng tốc nào có thể đạt được với cách tiếp cận lượng tử?

Chúng ta có thể nghĩ về đồ thị Cayley của khối Rubik với mỗi cạnh (được tô màu) là một trong những bước di chuyển của Singmaster và mỗi đỉnh là một trong cấu hình khác nhau của khối.$\Gamma=(V,E)$$E$$\langle U,U^{2},U^{3}=U^{-1},D,D^{2},D^{3},\cdots\rangle$$V$$43252003274489856000\approx 4.3e{19}$$3\times 3\times 3$

Các đường kính của một đồ thị là con đường ngắn nhất dài nhất trong đồ thị. Thuật toán cổ điển để xác định đường kính là đa thức trong ; xem, ví dụ, câu trả lời này từ một trang web chị em.$\vert V \vert$

Như đã đề cập ở trên, số của Chúa là (liên quan đến) đường kính này; để biết con đường ngắn nhất dài nhất giữa các đỉnh của đồ thị Cayley trên một nhóm, đủ để biết có bao nhiêu bước đi từ trạng thái đã giải quyết. Chúng tôi biết, nhờ Rokicki, Kociemba, Davidson và Dethridge trong số những người khác, số Chúa là . Các thuật toán họ thực hiện là đa thức trong , ví dụ: đa thức trong .$20$$\vert V\vert$$4.3e{19}$

Thuật toán lượng tử của Heiligman cho đường kính đồ thị, được đề cập trong các bình luận, đạt được tốc độ tăng tốc Grover so với thuật toán của Djikstra, với "tổng chi phí lượng tử là ." Tuy nhiên, tôi tin rằng Heiligman mã hóa đồ thị giống như một thuật toán cổ điển; ví dụ với các qubit . Rõ ràng nếu thì điều này sẽ không giúp ích gì.$O(|V|^{9/4})$$O(|V|)$$|V|=4.3e{19}$

Thay vào đó, một cách khác để mã hóa khối Rubik, như được gợi ý trong các câu hỏi khác, tất nhiên là để chuẩn bị một chồng chất đồng nhất trên tất cả các trạng thái . Điều này chỉ mất qubit.$4.3e{19}$$\log 4.3e{19}$

Các thuật toán lượng tử rất tốt khi nói về "giá trị riêng" và "hàm riêng" và "hàm riêng". Áp dụng tất cả các bước di chuyển của Singmaster vào vị trí chồng đồng nhất của tất cả các trạng thái không làm thay đổi trạng thái; tức là sự chồng chất đồng nhất là một trạng thái riêng của chuỗi Markov trên biểu đồ Cayley.$4.3e{19}$

Có mối quan hệ giữa đường kính của đồ thị và giá trị riêng / hàm riêng của ma trận kề / ma trận Laplacian tương ứng, đặc biệt là khoảng cách quang phổ, khoảng cách giữa hai giá trị riêng lớn nhất ( ). Một tìm kiếm nhanh của Google về "đường kính eigenvalue" tạo ra điều này ; Tôi khuyên bạn nên khám phá các tìm kiếm tương tự của Google.$\lambda_1-\lambda_2$

Khoảng trống quang phổ chính xác là những gì giới hạn thuật toán tính toán . Do đó, có lẽ bằng cách biết một thuật toán đáng tin cậy cần phải chạy nhanh đến mức nào để phát triển từ trạng thái siêu đồng nhất sang trạng thái được giải cho các nhóm / không gian con khác nhau của nhóm khối Rubik, người ta có thể ước tính khoảng cách quang phổ và sử dụng số này để ràng buộc số của Chúa. Nhưng tôi nhanh chóng rời khỏi giải đấu của mình ở đây và tôi nghi ngờ bất kỳ cảm giác chính xác nào đều có thể đạt được.