Mô phỏng tiến hóa hamiltonian

Tôi đang cố gắng tìm ra cách mô phỏng sự tiến hóa của các qubit dưới sự tương tác của người Hamilton với các thuật ngữ được viết như một sản phẩm tenor của ma trận Pauli trong một máy tính lượng tử. Tôi đã tìm thấy mánh khóe sau đây trong cuốn sách của Nielsen và Chuang được giải thích trong bài viết này cho một người Hamilton có hình thức

$$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$$ .

Nhưng nó không được giải thích chi tiết việc mô phỏng cho người Hamilton với các thuật ngữ bao gồm ma trận Pauli $X$ hoặc $Y$ sẽ hoạt động như thế nào. Tôi hiểu rằng bạn có thể biến những Pauli này thành Z bằng cách xem xét rằng $HZH = X$ trong đó $H$ là cổng Hadamard và $S^{\dagger}HZHS =Y$ trong đó $S$ là cổng pha $i$ . Chính xác tôi nên sử dụng điều này như thế nào để thực hiện ví dụ

$$H= X \otimes Y$$

Điều gì sẽ xảy ra nếu bây giờ Hamilton chứa tổng các thuật ngữ với ma trận Pauli? Ví dụ

$$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$$

Hãy nói rằng bạn có một Hamiltonian của mẫu

$$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$$ Có một cấu trúc mạch đơn giản cho phép bạn thực hiện thời gian của mình tiến hóa $e^{-iHt}$ . Bí quyết là cơ bản để phân hủy trạng thái mà bạn đang tiến hóa thành các thành phần có trong $\pm 1$ eigenspaces của $H$ . Sau đó, bạn áp dụng pha $e^{-it}$ cho không gian eigens $+1$ và pha $e^{-it}$ đếnkhông gian$-1$eigenspace. Các mạch sau đây thực hiện công việc đó (và giải nén sự phân tách ở cuối). Tôi giả sử phần tử cổng pha ở giữa sẽ áp dụng đơn vị $$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$$

---

Nói chung, nếu bạn muốn tiến hóa một số Hamilton $H=H_1+H_2$ trong đó $H_1$ và $H_2$ là dạng trước đó, thì dễ nhất là phân hủy sự tiến hóa là

$$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$$ đối với một số $M$ lớn (mặc dù có các thuật toán có hành vi mở rộng tốt hơn nhiều) và mỗi bước nhỏ đó$e^{-iH_1t/M}$ có thể được thực hiện với mạch trước đó.

---

Điều đó nói rằng, đôi khi có những điều thông minh hơn mà bạn có thể làm. Ví dụ thêm bạn,

$$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$$ là một trong những trường hợp như vậy. Tôi sẽ bắt đầu bằng cách áp dụng phép quay đơn vị $U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$ để qubit 2 và 3. Đây là tương đương với cổng Hadamard, nhưng chuyển đổi$Y$thành$Z$thay vì$X$. Bây giờ dừng lại một chút và suy nghĩ. Nếu qubit 2 và 3 ở 00, thì chúng tôi đang áp dụng$(X+Z)$cho qubit 1. Đối với 01, đó là$(X-Z)$, cho 10 là$(Z-X)$và cho 11 đó$-(X+Z)$. Tiếp theo, hãy áp dụng kiểm soát - không phải từ qubit 2 đến qubit 3. Điều này chỉ thấm vào các yếu tố cơ bản một chút. Bây giờ nó nói rằng chúng ta phải áp dụng Hamilton $$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$$ về trạng thái của qubit 1, nếu qubit 2 và 3 ở trạng thái$x_2x_3$ . Tiếp theo, hãy nhớ rằng$X+Z=\sqrt{2}H$(Hadamard, không phải Hamilton) và$X\sqrt{2}HX=X-Z$. Vì vậy, điều đó cho chúng ta một cách dễ dàng để chuyển đổi giữa hai bit của Hamilton. Chúng ta sẽ chỉ thay thế hai$X$đó bằng các phần tử được điều khiển bởi qubit 3. Tương tự như vậy, chúng ta có thể sử dụng một danh tính mạch trong đó lần này chúng ta sẽ thay thế các$X$bằng các phần tử được điều khiển khỏi qubit 2.

Nhìn chung, tôi tin rằng mô phỏng có vẻ như có vẻ phức tạp, nhưng không có sự phân tách nào thành các bước thời gian nhỏ tích lũy lỗi khi bạn thực hiện. Nó sẽ không được áp dụng rất thường xuyên, nhưng nó đáng để nhận thức về các loại khả năng này.

$H$$H=UDU^\dagger$$e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$$\sigma_i \neq I$$i$$H$

$$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$$

Kết quả là:

$$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$$

$e^{it Z\otimes Z}$

Nếu Hamilton là một tổng số các sản phẩm của Pauli, thì không có giải pháp đơn giản chung nào, nhưng bạn có thể sử dụng công thức sản phẩm Lie rút ngắn một số lượng lớn các điều khoản để giảm vấn đề trên.

$e^{-\Delta t H}$