Nhược điểm của sơ đồ phân biệt phổ biến cho mô phỏng CFD

Một ngày khác, người hướng dẫn động lực học chất lỏng tính toán của tôi vắng mặt và anh ấy đã gửi cho ứng cử viên tiến sĩ của mình để thay thế cho anh ấy. Trong bài giảng mà ông đã đưa ra, dường như ông chỉ ra một số nhược điểm liên quan đến các sơ đồ rời rạc khác nhau cho mô phỏng dòng chảy chất lỏng:

Phương pháp khác biệt hữu hạn: Rất khó để đáp ứng bảo tồn và áp dụng cho hình học không đều

Phương pháp khối lượng hữu hạn: Nó có xu hướng thiên về các cạnh và vật lý một chiều.

Phương pháp phần tử hữu hạn: Rất khó để giải phương trình hyperbol bằng FEM.

Galerkin không liên tục: Đó là điều tốt nhất (và tồi tệ nhất) trong tất cả các thế giới.

Chia tách biến động: Chúng chưa được áp dụng rộng rãi.

Sau bài giảng, tôi đã thử hỏi anh ta nơi anh ta có được thông tin này nhưng anh ta không chỉ định bất kỳ nguồn nào. Tôi cũng đã cố gắng để anh ấy làm rõ ý anh ấy là gì bởi DG là "tốt nhất và tồi tệ nhất trong tất cả các thế giới", nhưng không thể có được câu trả lời rõ ràng. Tôi chỉ có thể cho rằng anh ta đi đến những kết luận này từ kinh nghiệm của chính mình.

Từ kinh nghiệm của bản thân, tôi chỉ có thể xác minh tuyên bố đầu tiên rằng FDM khó áp dụng cho hình học không đều. Đối với tất cả các khiếu nại khác, tôi không có đủ kinh nghiệm để xác minh chúng. Tôi tò mò về mức độ chính xác của những 'nhược điểm' này đối với mô phỏng CFD nói chung.

Các đặc điểm được đề xuất là hợp lý theo nghĩa chúng đại diện cho ý kiến ​​phổ biến. Câu hỏi này có phạm vi rộng lớn, vì vậy tôi sẽ chỉ thực hiện một vài quan sát bây giờ. Tôi có thể giải thích để trả lời các bình luận. Để thảo luận chi tiết hơn có liên quan, hãy xem Tiêu chí nào để lựa chọn giữa các yếu tố hữu hạn và các yếu tố hữu hạn?

• Phương pháp khác biệt hữu hạn bảo thủ trật tự thấp có sẵn cho lưới không có cấu trúc. Phương pháp FD không dao động cao là một vấn đề khác. Trong các sơ đồ WENO khác biệt hữu hạn, vật lý xuất hiện trong sự phân tách từ thông không có sẵn cho tất cả các bộ giải Riemann.

• Các phương pháp thể tích hữu hạn hoạt động tốt ở nhiều chiều, nhưng để tăng cao hơn bậc hai đối với các cấu trúc dòng chảy chung, bạn cần thêm các điểm cầu phương mặt và / hoặc giải quyết Riemann ngang, làm tăng đáng kể chi phí so với các phương pháp FD. Tuy nhiên, các phương pháp FV này có thể được áp dụng cho các mắt lưới không mịn và không có cấu trúc và có thể sử dụng các bộ giải Riemann tùy ý.

• Các phương pháp phần tử hữu hạn liên tục có thể được sử dụng cho CFD, nhưng sự ổn định trở nên tinh tế. Nó thường không thực tế để có các phương pháp không dao động nghiêm ngặt và ổn định thường cần thông tin bổ sung như entropy. Khi ma trận khối lượng nhất quán được sử dụng, bước thời gian rõ ràng trở nên đắt hơn nhiều. Các phương pháp Galerkin liên tục không bảo thủ cục bộ, gây ra vấn đề cho những cú sốc mạnh. Xem thêm Tại sao bảo tồn địa phương quan trọng khi giải quyết PDEs?

• Các phương pháp Galerkin không liên tục có thể sử dụng bất kỳ bộ giải Riemann nào để kết nối các phần tử. Chúng có các đặc tính ổn định phi tuyến vốn có tốt hơn các phương pháp phổ biến khác. DG cũng khá phức tạp để thực hiện và thường không đơn điệu trong một yếu tố. Có các bộ hạn chế cho DG đảm bảo tính tích cực hoặc một nguyên tắc tối đa.

• Có các phương pháp khác như Sự khác biệt quang phổ (ví dụ Wang et al 2007 hoặc Liang et al 2009 ) có tiềm năng rất hiệu quả (như Sự khác biệt hữu hạn), trong khi có độ linh hoạt hình học cao hơn và độ chính xác cao hơn.

Dòng số Reynold cao có các lớp ranh giới mỏng, đòi hỏi các yếu tố dị hướng cao để giải quyết hiệu quả. Đối với các yếu tố không thể nén hoặc gần như không thể nén, điều này gây ra rắc rối đáng kể cho nhiều sự rời rạc. Để thảo luận thêm, chủ yếu là từ góc độ của các phương pháp phần tử hữu hạn, hãy xem Phân biệt không gian nào hoạt động cho dòng chảy không thể nén với các mắt lưới biên bất đẳng hướng?

Đối với các vấn đề ổn định, khả năng sử dụng hiệu quả đa tuyến tính (FAS) là hấp dẫn. Các phương thức FD, FV và DG thường có thể sử dụng FAS một cách hiệu quả bởi vì, đại khái,

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

Tỷ lệ này thường nhiều hơn 10 đối với các phương pháp phần tử hữu hạn liên tục. Tuy nhiên, tỷ lệ này là không đủ cho FAS hiệu quả với các bộ làm mịn theo điểm hoặc theo phần tử. Cũng cần phải có sự rời rạc -elliptic để sử dụng để sửa lỗi, hoặc sửa đổi chu trình multigrid. Để thảo luận thêm, hãy xem Có thuật toán đa biến nào giải quyết các vấn đề Neumann và có tốc độ hội tụ độc lập với số cấp không? Một câu trả lời tích cực cho câu hỏi nghiên cứu này có khả năng cung cấp một FAS hiệu quả cho các yếu tố hữu hạn liên tục.$h$

Viết tắt của DG:

Hậu quả của việc nới lỏng các yêu cầu liên tục qua các ranh giới phần tử là số lượng biến trong DG-FEM lớn hơn so với đối tác liên tục cho cùng một số phần tử.

Mặt khác vì công thức cục bộ (về các yếu tố), chúng tôi có những lợi thế sau:

• Các thuật ngữ không cố định và nguồn được tách rời hoàn toàn giữa các yếu tố. Ma trận khối có thể được đảo ngược ở cấp độ phần tử.
• Song song dễ dàng hơn.
• Các sàng lọc thích ứng (h-, p- và hp) được thực hiện dễ dàng - không cần phải đánh số lại nút toàn cầu.