Một phương pháp không gian con Krylov có thể được sử dụng như là một mượt mà cho multigrid?

Theo như tôi biết, các bộ giải đa lượng sử dụng các bộ làm mịn lặp như Jacobi, Gauss-Seidel và SOR để làm giảm lỗi ở các tần số khác nhau. Có thể sử dụng phương pháp không gian con Krylov (như gradient liên hợp, GMRES, v.v.) không? Tôi không nghĩ rằng chúng được phân loại là "chất làm mịn", nhưng chúng có thể được sử dụng để xấp xỉ giải pháp lưới thô. Chúng ta có thể mong đợi để thấy sự hội tụ tương tự với giải pháp như chúng ta sẽ làm trong một phương pháp multigrid tiêu chuẩn không? Hay là nó phụ thuộc vào vấn đề?

Có, bạn có thể, nhưng các phương pháp Krylov thường không có đặc tính làm mịn tuyệt vời. Điều này là do họ nhắm mục tiêu toàn bộ phổ theo cách thích ứng nhằm giảm thiểu phần dư hoặc một chỉ tiêu phù hợp của lỗi. Điều này thường sẽ bao gồm một số chế độ tần số thấp (bước sóng dài) mà các lưới thô sẽ xử lý tốt. Các chất làm mịn Krylov cũng làm cho chu trình đa dòng trở nên phi tuyến, vì vậy nếu multigrid đang được sử dụng làm tiền đề cho một phương pháp Krylov bên ngoài, thì phương pháp bên ngoài phải là "linh hoạt" (ví dụ: GCR hoặc FGMRES).

Sử dụng máy làm mịn Krylov cũng làm tăng đáng kể số lượng sản phẩm chấm phải được tính toán, điều này trở thành một nút cổ chai đáng kể song song. Tuy nhiên, ngay cả với các đặc tính không hấp dẫn này, máy làm mịn Krylov đôi khi rất hữu ích, đặc biệt đối với các vấn đề khó khăn trong đó các toán tử nội suy tốt không có sẵn.

$\lambda_\max$$D^{-1}A$$D^{-1}$$A$$(0.1 \lambda_{\max}, 1.1 \lambda_{\max})$$1$$5$$5$$10$) của GMRES hoặc CG được sử dụng để ước tính , vì vậy người dùng không cần phải tự tính toán chúng. Ước tính cũng được sử dụng bởi một số phương pháp đa đại số để chọn chiến lược thô.$\lambda_\max$$\lambda_\max$

Adams, Brezina, Hu và Tuminaro (2003) là một bài báo hay về hiệu suất song song và thuật toán của máy làm mịn đa thức. Lưu ý rằng các bộ làm mịn đa thức có xu hướng kém hiệu quả (và / hoặc khó tạo thành) cho các vấn đề không đối xứng, trong trường hợp đó bạn có thể muốn sử dụng các lược đồ thư giãn Gauss-Seidel hoặc phức tạp hơn (khối / phân tán).