Mô hình hồi quy tuyến tính phù hợp nhất với dữ liệu có lỗi

Tôi đang tìm kiếm thuật toán hồi quy tuyến tính phù hợp nhất với dữ liệu có biến độc lập (x) có lỗi đo không đổi và biến phụ thuộc (y) có lỗi phụ thuộc tín hiệu.

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Hình ảnh trên minh họa câu hỏi của tôi.

— người dùng46178
nguồn

Nếu biến hằng x có lỗi đo không đổi và các lỗi chỉ được sử dụng để cân trọng số của các biến theo cách tương đối, thì tình huống này có tương đương với việc không có lỗi trong x không?

— pedrofigueira

@pedro Đó không phải là trường hợp, bởi vì các lỗi trong không chỉ đơn thuần là trọng số trong một công thức. Với hồi quy lỗi trong biến, sự phù hợp sẽ khác nhau và ước tính hiệp phương sai của các tham số sẽ khác với hồi quy thông thường.

x

$x$

— whuber

Cảm ơn bạn đã làm rõ. Bạn có thể mở rộng một chút về lý do tại sao đó là trường hợp?

— pedrofigueira

Lỗi đo lường trong biến phụ thuộc

Với một vị tướng tuyến tính mô hình với homosckedastic, không autocorrelated và không tương quan với các biến độc lập, chúng ta hãy biểu thị biến "true", và biện pháp quan sát được của nó. Lỗi đo được định nghĩa là sự khác biệt của chúng Do đó, mô hình có thể ước tính là: Vì là quan sát, chúng ta có thể ước tính mô hình bằng OLS. Nếu lỗi đo lường trong độc lập thống kê với từng biến giải thích, thì

\begin{matrix} (1) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+\varepsilon\tag{1}$

ε

$\varepsilon$

y^{*}

$y^*$

y

$y$

e = y - y^{*}

$e=y-y^*$

\begin{matrix} (2) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + e + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+e+\varepsilon\tag{2}$

y, x_{1}, \dots, x_{k}

$y,x_1,\dots,x_k$

y

$y$

(e + ε)

$(e+\varepsilon)$ chia sẻ các thuộc tính giống như và các quy trình suy luận OLS thông thường ( thống kê , v.v.) là hợp lệ. Tuy nhiên, trong trường hợp của bạn, tôi mong đợi một phương sai gia tăng của . Bạn đã có thể sử dụng:

ε

$\varepsilon$

t

$t$

e

$e$

một công cụ ước lượng bình phương nhỏ nhất có trọng số (ví dụ Kutner và cộng sự , §11.1; Verbeek , §4.3.1-3);
công cụ ước tính OLS, vẫn không thiên vị và nhất quán, và các lỗi tiêu chuẩn nhất quán không đồng nhất, hoặc đơn giản là Wite lỗi tiêu chuẩn ( Verbeek , §4.3.4).

Lỗi đo lường trong biến độc lập

Cho cùng một mô hình tuyến tính như trên, hãy biểu thị giá trị "true" và số đo có thể quan sát được của nó. Lỗi đo bây giờ là: Có hai tình huống chính ( Wooldridge , §4.4.2). $x_k^*$ $x_k$

e_{k} = x_{k} - x_{k}^{*}

$e_k=x_k-x_k^*$

$\text{Cov}(x_k,e_k)=0$ : lỗi đo lường không tương quan với số đo được quan sát và do đó phải tương quan với biến không quan sát được ; viết và cắm này vào (1): kể từ và cả hai đều không tương quan với nhau , bao gồm , đo lường chỉ làm tăng phương sai lỗi và vi phạm bất kỳ giả định OLS nào; $x^*_k$ $x_k^*=x_k-e_k$
$y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + (ε - β_{k} e_{k})$ $y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+(\varepsilon-\beta_ke_k)$ $\varepsilon$ $e$ $x_j$ $x_k$
$\text{Cov}(x^*_k,\eta_k)=0$ : lỗi đo lường không tương quan với biến không quan sát được và do đó phải tương quan với số đo quan sát ; mối tương quan như vậy gây ra các prolem và hồi quy OLS của trên thường đưa ra các ước lượng sai lệch và vô thức. $x_k$ $y$ $x_1,\dots,x_k$

Theo như tôi có thể đoán bằng cách nhìn vào âm mưu của bạn (lỗi tập trung vào các giá trị "thật" của biến độc lập), kịch bản đầu tiên có thể được áp dụng.

— Sergio
nguồn